Дима решил заниматься спортом и начал отжиматься каждое утро. В первое утро он сделал 10 отжиманий, а каждое следующее утро он делал на одно и то же количество отжиманий больше,…

Для решения этой задачи начнем с определения, сколько отжиманий Дима делает каждое утро.

1. Обозначим переменные:
   Пусть \( x \) — количество отжиманий, которое Дима добавляет каждое утро.
   Таким образом, количество отжиманий, которое он делает в каждый из дней можно записать так:

   • 1-й день: \( 10 \)
   • 2-й день: \( 10 + x \)
   • 3-й день: \( 10 + 2x \)
   • 4-й день: \( 10 + 3x \)
   • и так далее...

2. Составим уравнение для 13 дней:
   Мы знаем, что за первые 13 дней он сделал всего 364 отжимания. Сумма отжиманий за 13 дней будет равна: \[ S = 10 + (10 + x) + (10 + 2x) + (10 + 3x) + \ldots + (10 + 12x) \] Можно упростить эту сумму: \[ S = 10 \cdot 13 + (0 + 1 + 2 + \ldots + 12)x \] Сумма \( 0 + 1 + 2 + \ldots + 12 \) равна \(\frac{n(n + 1)}{2}\), где \( n = 12 \): \[ \frac{12 \cdot 13}{2} = 78 \] Подставляем в уравнение: \[ S = 130 + 78x \] Теперь у нас есть уравнение: \[ 130 + 78x = 364 \]

3. Решим уравнение для \( x \):
   Выразим \( x \): \[ 78x = 364 - 130 \] \[ 78x = 234 \] \[ x = \frac{234}{78} = 3 \]

Теперь мы знаем, что Дима увеличивал количество отжиманий на 3 каждое утро.

4. Подсчитаем количество отжиманий в восьмой день:
   Формула для отжиманий в \( n \)-й день (где \( n = 8 \)): \[ \text{Отжимания в 8-й день} = 10 + (8 - 1) \cdot 3 = 10 + 7 \cdot 3 = 10 + 21 = 31 \]

Таким образом, Дима сделал 31 отжимание в восьмой день.