Дима решил заниматься спортом и начал отжиматься каждое утро. В первое утро он сделал 10 отжиманий, а каждое следующее утро он делал на одно и то же количество отжиманий больше, чем в предыдущее утро. За первые 13 дней он сделал всего 364 отжимания. Сколько отжиманий сделал Дима в восьмой день?

Для решения этой задачи начнем с определения, сколько отжиманий Дима делает каждое утро. 1. **Обозначим переменные**: Пусть \( x \) — количество отжиманий, которое Дима добавляет каждое утро. Таким образом, количество отжиманий, которое он делает в каждый из дней можно записать так: - 1-й день: \( 10 \) - 2-й день: \( 10 + x \) - 3-й день: \( 10 + 2x \) - 4-й день: \( 10 + 3x \) - и так далее... 2. **Составим уравнение для 13 дней**: Мы знаем, что за первые 13 дней он сделал всего 364 отжимания. Сумма отжиманий за 13 дней будет равна: \[ S = 10 + (10 + x) + (10 + 2x) + (10 + 3x) + \ldots + (10 + 12x) \] Можно упростить эту сумму: \[ S = 10 \cdot 13 + (0 + 1 + 2 + \ldots + 12)x \] Сумма \( 0 + 1 + 2 + \ldots + 12 \) равна \(\frac{n(n + 1)}{2}\), где \( n = 12 \): \[ \frac{12 \cdot 13}{2} = 78 \] Подставляем в уравнение: \[ S = 130 + 78x \] Теперь у нас есть уравнение: \[ 130 + 78x = 364 \] 3. **Решим уравнение для \( x \)**: Выразим \( x \): \[ 78x = 364 - 130 \] \[ 78x = 234 \] \[ x = \frac{234}{78} = 3 \] Теперь мы знаем, что Дима увеличивал количество отжиманий на 3 каждое утро. 4. **Подсчитаем количество отжиманий в восьмой день**: Формула для отжиманий в \( n \)-й день (где \( n = 8 \)): \[ \text{Отжимания в 8-й день} = 10 + (8 - 1) \cdot 3 = 10 + 7 \cdot 3 = 10 + 21 = 31 \] Таким образом, Дима сделал **31 отжимание** в восьмой день.