Катя звёздная купила в магазине несколько конфет и направилась домой по дороге, она по очереди встретила своих подруг Таню Олю свету Машу и Марину. при каждой встрече она отдавала половину всех, имеющихся у неё к тому моменту конфет, ещё пол конфеты, когда же Катя дошла до своего подъезда, то обнаружила, что конфет у неё уже не осталось, сколько конфет купила в магазине Катя звёздная, если сама она конфет так и не попробовала.

Решим задачу пошагово. Давайте обозначим количество конфет, которые Катя купила в магазине, как \( x \). 1. **Первая встреча с Таней**: - У Кати было \( x \) конфет. - Она отдала половину конфет: \( \frac{x}{2} \). - Также она отдала 0.5 конфеты. - После первой встречи у Кати осталось: \[ x - \left(\frac{x}{2} + 0.5\right) = \frac{x}{2} - 0.5 \] 2. **Вторая встреча с Олей**: - У Кати сейчас \( \frac{x}{2} - 0.5 \) конфет. - Она снова отдала половину: \( \frac{1}{2}\left(\frac{x}{2} - 0.5\right) = \frac{x}{4} - 0.25 \). - Она также отдала 0.5 конфеты. - После встречи с Олей у Кати осталось: \[ \left(\frac{x}{2} - 0.5\right) - \left(\frac{x}{4} - 0.25 + 0.5\right) = \frac{x}{2} - 0.5 - \frac{x}{4} + 0.25 - 0.5 = \frac{x}{4} - 0.75 \] 3. **Третья встреча со Светой**: - У Кати осталось \( \frac{x}{4} - 0.75 \) конфет. - Она снова отдала половину: \( \frac{1}{2}\left(\frac{x}{4} - 0.75\right) = \frac{x}{8} - 0.375 \). - Она отдала также 0.5 конфеты. - После встречи со Светой у Кати осталось: \[ \left(\frac{x}{4} - 0.75\right) - \left(\frac{x}{8} - 0.375 + 0.5\right) = \frac{x}{4} - 0.75 - \frac{x}{8} + 0.375 - 0.5 = \frac{x}{8} - 0.875 \] 4. **Четвёртая встреча с Машей**: - У Кати осталось \( \frac{x}{8} - 0.875 \). - Она отдала половину: \( \frac{1}{2}\left(\frac{x}{8} - 0.875\right) = \frac{x}{16} - 0.4375 \). - И опять она отдала 0.5 конфеты. - После встречи с Машей у Кати осталось: \[ \left(\frac{x}{8} - 0.875\right) - \left(\frac{x}{16} - 0.4375 + 0.5\right) = \frac{x}{8} - 0.875 - \frac{x}{16} + 0.4375 - 0.5 \] Переписывая это, получаем: \[ = \frac{2x}{16} - \frac{x}{16} - 0.875 + 0.4375 - 0.5 = \frac{x}{16} - 0.9375 \] 5. **Пятая встреча с Мариной**: - У Кати осталось \( \frac{x}{16} - 0.9375 \). - Она отдала половину: \( \frac{1}{2}\left(\frac{x}{16} - 0.9375\right) = \frac{x}{32} - 0.46875 \). - И опять отдала 0.5 конфеты. - После пятой встречи у Кати осталось: \[ \left(\frac{x}{16} - 0.9375\right) - \left(\frac{x}{32} - 0.46875 + 0.5\right) = \left(\frac{x}{16} - \frac{x}{32}\right) - 0.9375 + 0.46875 - 0.5 \] Это может быть упрощено: \[ = \frac{2x - x}{32} - 0.9375 + 0.46875 - 0.5 = \frac{x}{32} - 0.96875 \] Как известно, после последней встречи конфет у Кати не осталось, значит: \[ \frac{x}{32} - 0.96875 = 0 \] Решим уравнение: \[ \frac{x}{32} = 0.96875 \\ x = 0.96875 \times 32 = 31 \] Таким образом, Катя купила **31 конфету** в магазине.