в классе 24 человека, из них 10 девочек и 14 мальчиков. по сигналу учителя физкультуры они быстро построились в одну шеренгу в случайном порядке. найдите вероятность того, что на…
В классе 24 человека, из них 10 девочек и 14 мальчиков. по сигналу учителя физкультуры они быстро построились в одну шеренгу в случайном порядке. найдите вероятность того, что на концах шеренги будут стоять школьники одинакового пола
Для решения задачи о вероятности, что на концах шеренги будут стоять школьники одинакового пола, находим общее количество возможных сочетаний и количество благоприятных случаев.
Шаг 1: Общее количество построений
В классе 24 человека (10 девочек и 14 мальчиков). Количество способов, как они могут выстроиться в шеренгу, равно факториалу от числа людей:
\[ N_{\text{всего}} = 24! \]
Шаг 2: Благоприятные случаи
Случай 1: Оба на концах — девочки
- Если на концах стоят девочки, то выбираем 2 девочки из 10 для концов шеренги. Это можно сделать следующими способами:
\[ C(10, 2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45 \]
- После того как выбраны 2 девочки для концов, остаются 8 девочек и 14 мальчиков. Всего остается 22 человека, которых можно расположить в любой последовательности:
\[ 22! \]
- Итого для случая, когда на концах стоят девочки:
\[ N_{\text{девочки}} = C(10, 2) \cdot 22! = 45 \cdot 22! \]
Случай 2: Оба на концах — мальчики
- Аналогично, если на концах стоят мальчики, выбираем 2 мальчика из 14:
\[ C(14, 2) = \frac{14!}{2!(14-2)!} = \frac{14 \cdot 13}{2 \cdot 1} = 91 \]
- Остальные 22 человека — 10 девочек и 12 мальчиков:
\[ N_{\text{мальчики}} = C(14, 2) \cdot 22! = 91 \cdot 22! \]
Шаг 3: Общее количество благоприятных случаев
Суммируем благоприятные случаи:
\[ N_{\text{благоприятные}} = N_{\text{девочки}} + N_{\text{мальчики}} = (45 + 91) \cdot 22! = 136 \cdot 22! \]
Шаг 4: Нахождение вероятности
Теперь, вероятность того, что на концах шеренги будут стоять школьники одинакового пола, выражается как отношение благоприятных случаев к общему количеству построений:
\[ P = \frac{N_{\text{благоприятные}}}{N_{\text{всего}}} = \frac{136 \cdot 22!}{24!} \]
Упрощаем дробь:
\[ P = \frac{136}{24 \cdot 23} \]
Шаг 5: Итоговое значение
Теперь проведем вычисления:
\[ P = \frac{136}{552} = \frac{17}{69} \approx 0.246 \]
Таким образом, вероятность того, что на концах шеренги будут стоять школьники одинакового пола, составляет примерно 0.246, или 24.6%.
