А)Реши уравнение (1+√3 ×tgx)/(2sinx - 1) =0 Б)Найди его корни, принадлежащие отрезку [13π/2;8π]
Решим уравнение
\[ \frac{1 + \sqrt{3} \cdot \tan x}{2 \sin x - 1} = 0. \]
- Преобразуем уравнение.
Чтобы дробь была равна нулю, числитель должен равняться нулю, а знаменатель не равен нулю. Таким образом, нам нужно решить:
\[ 1 + \sqrt{3} \cdot \tan x = 0. \]
- Решим уравнение по числителю.
Переносим 1 на другую сторону:
\[ \sqrt{3} \cdot \tan x = -1. \]
Теперь выражаем \(\tan x\):
\[ \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}. \]
Зная, что \(\tan\) принимает отрицательные значения в II и IV квадратах, мы можем найти углы, при которых \(\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}\).
- Находим арктангенс.
Значение \(\tan\) равно \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) в следующих точках:
В II квадранте: \[ x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}. \]
В IV квадранте: \[ x = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}. \]
- Запишем общее решение.
Так как тангенс имеет период \(\pi\), общее решение уравнения выглядит следующим образом:
\[ x = \frac{5\pi}{6} + k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{11\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]
- Найдём корни на отрезке \([\frac{13\pi}{2}; 8\pi]\).
Подставим разные значения \(k\) и определим подходящие \(x\).
Для первого уравнения:
\(k = 0\) \[ x = \frac{5\pi}{6} \quad (\text{не входит в отрезок}). \]
\(k = 1\) \[ x = \frac{5\pi}{6} + \pi = \frac{11\pi}{6} \quad (\text{не входит в отрезок}). \]
\(k = 2\) \[ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \quad (\text{входит в отрезок}). \]
\(k = 3\) \[ x = \frac{5\pi}{6} + 3\pi = \frac{23\pi}{6} \quad (\text{входит в отрезок}). \]
\(k = 4\) \[ x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6} \quad (\text{не входит в отрезок}). \]
Для второго уравнения:
\(k = 0\) \[ x = \frac{11\pi}{6} \quad (\text{не входит в отрезок}). \]
\(k = 1\) \[ x = \frac{11\pi}{6} + \pi = \frac{17\pi}{6} \quad (\text{уже найдено}). \]
\(k = 2\) \[ x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi = \frac{23\pi}{6} \quad (\text{уже найдено}). \]
\(k = 3\) \[ x = \frac{11\pi}{6} + 3\pi = \frac{29\pi}{6} \quad (\text{не входит в отрезок}). \]
Таким образом, корни уравнения на заданном отрезке \([\frac{13\pi}{2}; 8\pi]\):
\[ x = \frac{17\pi}{6}, \quad x = \frac{23\pi}{6}. \]
Теперь вы можете проверить, входят ли указанные значения в отрезок, и итоговые корни готовы.
