найдите стороны прямоугольника, периметр которого 102 м, а диагональ 39 м

Давайте решим задачу о нахождении сторон прямоугольника, зная его периметр и диагональ.

Дано:

• Периметр \( P = 102 \) м
• Диагональ \( d = 39 \) м

Обозначения:

Пусть длина одной стороны прямоугольника равна \( a \), а другой стороне — \( b \).

Шаг 1: Используем формулу для периметра

Периметр \( P \) прямоугольника можно выразить как: \[ P = 2(a + b) \] Подставим известное значение: \[ 102 = 2(a + b) \] Разделим обе части уравнения на 2: \[ a + b = 51 \] (это уравнение 1)

Шаг 2: Используем формулу для диагонали

Также можно выразить диагональ через стороны прямоугольника с помощью теоремы Пифагора: \[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \] Подставим значение диагонали: \[ 39 = \sqrt{a^2 + b^2} \] Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня: \[ 1521 = a^2 + b^2 \] (это уравнение 2)

Шаг 3: Подставим \( b \) из уравнения 1 в уравнение 2

Из уравнения 1 выразим \( b \): \[ b = 51 - a \] Теперь подставим это выражение в уравнение 2: \[ 1521 = a^2 + (51 - a)^2 \]

Шаг 4: Раскроем скобки

Раскроем скобки: \[ 1521 = a^2 + (51^2 - 102a + a^2) \] Где \( 51^2 = 2601 \): \[ 1521 = a^2 + 2601 - 102a + a^2 \] Объединим подобные слагаемые: \[ 1521 = 2a^2 - 102a + 2601 \] Теперь перенесем 1521 в правую часть уравнения: \[ 0 = 2a^2 - 102a + 2601 - 1521 \] \[ 0 = 2a^2 - 102a + 1080 \]

Шаг 5: Упростим уравнение

Делим уравнение на 2 для упрощения: \[ 0 = a^2 - 51a + 540 \]

Шаг 6: Решим квадратное уравнение

Используем формулу дискримината: \[ D = b^2 - 4ac = (-51)^2 - 4 \times 1 \times 540 = 2601 - 2160 = 441 \] Теперь найдем корни: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{51 \pm \sqrt{441}}{2} \] \(\sqrt{441} = 21\): \[ a = \frac{51 \pm 21}{2} \] Теперь найдем возможные значения \( a \):

1. \( a = \frac{72}{2} = 36 \)
2. \( a = \frac{30}{2} = 15 \)

Шаг 7: Найдем значение \( b \)

Используя \( a + b = 51 \):

1. Если \( a = 36 \), то \( b = 51 - 36 = 15 \).
2. Если \( a = 15 \), то \( b = 51 - 15 = 36 \).

Таким образом, стороны прямоугольника:

• Длина одной стороны \( a = 36 \) м
• Длина другой стороны \( b = 15 \) м

Ответ:

Стороны прямоугольника равны 36 м и 15 м.