Серёжа задумал два натуральных числа он забыл задуманное числа но точно помнит что их сумма равна 22 а про разность абсолютно уверен что она меньше 14 но больше 10 какие два числа задумал Серёжа найдите все варианты докажите что других нет

Чтобы решить задачу о двух натуральных числах, давайте обозначим эти числа как \( x \) и \( y \). 1. **Условия задачи:** - Сумма чисел: \( x + y = 22 \) - Разность чисел: \( |x - y| \) меньше 14 и больше 10: \( 10 < |x - y| < 14 \) 2. **Из уравнения суммы**: Мы можем выразить одно из чисел через другое. Например, выразим \( y \): \[ y = 22 - x \] 3. **Подставим \( y \) в условие разности**: Теперь подставим \( y \) в неравенство для разности. Рассмотрим оба случая (где \( x \) больше \( y \) и где \( y \) больше \( x \)): **Случай 1:** \( x - y \) (где \( x \geq y \)) \[ |x - y| = x - y = x - (22 - x) = 2x - 22 \] Подставим в неравенство: \[ 10 < 2x - 22 < 14 \] Теперь разделим это на две части: - \( 10 < 2x - 22 \) \[ 32 < 2x \] \[ 16 < x \] - \( 2x - 22 < 14 \) \[ 2x < 36 \] \[ x < 18 \] Объединим результаты: \[ 16 < x < 18 \\ \] Поскольку \( x \) — натуральное число, то \( x = 17 \). Теперь найдем \( y \): \[ y = 22 - x = 22 - 17 = 5 \] Таким образом, один из вариантов чисел: \( (17, 5) \). **Случай 2:** \( y - x \) (где \( y \geq x \)) В этом случае: \[ |x - y| = - (x - y) = y - x = (22 - x) - x = 22 - 2x \] Подставим в неравенство: \[ 10 < 22 - 2x < 14 \] Теперь тоже разобьем на две части: - \( 10 < 22 - 2x \) \[ 2x < 12 \] \[ x > 6 \] - \( 22 - 2x < 14 \) \[ -2x < -8 \] \[ x > 4 \] Объединим результаты: \[ 6 < x < 9 \] Поскольку \( x \) — натуральное число, возможные значения для \( x \): 7 и 8. Рассмотрим их по отдельности: - Если \( x = 7 \): \[ y = 22 - 7 = 15 \] Вариант: \( (15, 7) \). - Если \( x = 8 \): \[ y = 22 - 8 = 14 \] Вариант: \( (14, 8) \). Теперь соберем все возможные варианты чисел: - \( (17, 5) \) - \( (15, 7) \) - \( (14, 8) \) 4. **Проверка условий:** Суммы и разности: - \( 17 + 5 = 22 \) и \( 17 - 5 = 12 \) (входит в диапазон). - \( 15 + 7 = 22 \) и \( 15 - 7 = 8 \) (не входит в диапазон). - \( 14 + 8 = 22 \) и \( 14 - 8 = 6 \) (не входит в диапазон). 5. **Вывод:** Единственный подходящий вариант, удовлетворяющий всем условиям является: - \( (17, 5) \) Доказано, что других вариантов чисел, подходящих под условия задачи, нет.