Решить

Давайте разберем каждое из неравенств и решим их методом интервалов.

11) \((x - 4)(2x + 6) \leq 0\)

1. Найдем нули произведения:

   \[ x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \]

   \[ 2x + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3 \]

2. Определим интервалы на числовой оси:

   Интервалы: \((- \infty, -3)\), \((-3, 4)\), \((4, \infty)\).

3. Проверим знаки в интервалах:

   • В \((- \infty, -3)\) выберем \(x = -4\): \((-4 - 4)(2(-4) + 6) > 0\).
   • В \((-3, 4)\) выберем \(x = 0\): \((0 - 4)(2(0) + 6) < 0\).
   • В \((4, \infty)\) выберем \(x = 5\): \((5 - 4)(2(5) + 6) > 0\).

4. Запишем решение с учетом неравенства \(\leq\):

   Решение: \([-3, 4]\).

12) \((x - 6)(x + 6) \leq 0\)

1. Найдем нули произведения:

   \[ x - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 6 \]

   \[ x + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -6 \]

2. Определим интервалы на числовой оси:

   Интервалы: \((- \infty, -6)\), \((-6, 6)\), \((6, \infty)\).

3. Проверим знаки в интервалах:

   • В \((- \infty, -6)\) выберем \(x = -7\): \((-7 - 6)(-7 + 6) > 0\).
   • В \((-6, 6)\) выберем \(x = 0\): \((0 - 6)(0 + 6) < 0\).
   • В \((6, \infty)\) выберем \(x = 7\): \((7 - 6)(7 + 6) > 0\).

4. Запишем решение с учетом неравенства \(\leq\):

   Решение: \([-6, 6]\).

13) \(x(x - 2)(3x + 9) < 0\)

1. Найдем нули произведения:

   \[ x = 0, \quad x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2, \quad 3x + 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3. \]

2. Определим интервалы на числовой оси:

   Интервалы: \((- \infty, -3)\), \((-3, 0)\), \((0, 2)\), \((2, \infty)\).

3. Проверим знаки в интервалах:

   • В \((- \infty, -3)\) выберем \(x = -4\): произведение знаков даёт \(< 0\).
   • В \((-3, 0)\) выберем \(x = -1\): произведение знаков даёт \(> 0\).
   • В \((0, 2)\) выберем \(x = 1\): произведение знаков даёт \(< 0\).
   • В \((2, \infty)\) выберем \(x = 3\): произведение знаков даёт \(> 0\).

4. Запишем решение с учетом неравенства \(<\):

   Решение: \((- \infty, -3) \cup (0, 2)\).

14) \((x - 2)(x + 4) \geq 0\)

1. Найдем нули произведения:

   \[ x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \]

   \[ x + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -4 \]

2. Определим интервалы на числовой оси:

   Интервалы: \((- \infty, -4)\), \((-4, 2)\), \((2, \infty)\).

3. Проверим знаки в интервалах:

   • В \((- \infty, -4)\) выберем \(x = -5\): \((-5 - 2)(-5 + 4) > 0\).
   • В \((-4, 2)\) выберем \(x = 0\): \((0 - 2)(0 + 4) < 0\).
   • В \((2, \infty)\) выберем \(x = 3\): \((3 - 2)(3 + 4) > 0\).

4. Запишем решение с учетом неравенства \(\geq\):

   Решение: \((-\infty, -4] \cup [2, \infty)\).

15) \((x-3)(x+1) \geq 0\)

1. Найдем нули произведения:

   \[ x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \]

   \[ x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \]

2. Определим интервалы на числовой оси:

   Интервалы: \((- \infty, -1)\), \((-1, 3)\), \((3, \infty)\).

3. Проверим знаки в интервалах:

   • В \((- \infty, -1)\) выберем \(x = -2\): \((-2 - 3)(-2 + 1) > 0\).
   • В \((-1, 3)\) выберем \(x = 0\): \((0 - 3)(0 + 1) < 0\).
   • В \((3, \infty)\) выберем \(x = 4\): \((4 - 3)(4 + 1) > 0\).

4. Запишем решение с учетом неравенства \(\geq\):

   Решение: \((-\infty, -1] \cup [3, \infty)\).

Вот решенные неравенства с подробным объяснением. Если у вас есть вопросы, дайте знать!