Решить неравенства методом интервалов

Для решения неравенств методом интервалов сначала необходимо найти нули выражений, чтобы определить границы интервалов. Затем на каждом интервале определить знак выражения и выбрать те интервалы, где неравенство выполняется. Рассмотрим каждое неравенство по порядку.

16. \( x \cdot (x + 5) \geq 0 \)

1. Найдем нули:
   \( x = 0 \) и \( x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5 \).

2. Разбиваем числовую прямую на интервалы:
   \((- \infty, -5)\), \((-5, 0)\), \((0, +\infty)\).

3. Определяем знак на каждом интервале:

   • На \((- \infty, -5)\): выберем \(x = -6\), \((-6) \cdot (-6 + 5) = 6\), знак \(+\).
   • На \((-5, 0)\): выберем \(x = -1\), \((-1) \cdot (-1 + 5) = 4\), знак \(-\).
   • На \((0, +\infty)\): выберем \(x = 1\), \(1 \cdot (1 + 5) = 6\), знак \(+\).

4. Неравенство \(\geq 0\) выполняется на интервалах с положительным знаком и на концах. Ответ: \(x \in (-\infty, -5] \cup [0, +\infty)\).

17. \( -x \cdot (x - 9) \geq 0 \)

1. Найдем нули:
   \( -x = 0 \Rightarrow x = 0\) и \(x - 9 = 0 \Rightarrow x = 9\).

2. Разбиваем числовую прямую на интервалы:
   \((- \infty, 0)\), \((0, 9)\), \((9, +\infty)\).

3. Определяем знак на каждом интервале:

   • На \((- \infty, 0)\): выберем \(x = -1\), \(-(-1) \cdot (-1 - 9) = -10\), знак \(+\).
   • На \((0, 9)\): выберем \(x = 1\), \(-1 \cdot (1 - 9) = 8\), знак \(+\).
   • На \((9, +\infty)\): выберем \(x = 10\), \(-10 \cdot (10 - 9) = -10\), знак \(-\).

4. Неравенство \(\geq 0\) выполняется на интервалах с положительным знаком и на концах. Ответ: \(x \in (-\infty, 0] \cup [0, 9]\).

18. \( (x + 2) \cdot (2x - 1) \leq 0 \)

1. Найдем нули:
   \( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\) и \(2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\).

2. Разбиваем числовую прямую на интервалы:
   \((- \infty, -2)\), \((-2, \frac{1}{2})\), \((\frac{1}{2}, +\infty)\).

3. Определяем знак на каждом интервале:

   • На \((- \infty, -2)\): выберем \(x = -3\), \((-3 + 2) \cdot (2 \cdot -3 - 1) = 7\), знак \(+\).
   • На \((-2, \frac{1}{2})\): выберем \(x = 0\), \((0 + 2) \cdot (2 \cdot 0 - 1) = -2\), знак \(-\).
   • На \((\frac{1}{2}, +\infty)\): выберем \(x = 1\), \((1 + 2) \cdot (2 \cdot 1 - 1) = 3\), знак \(+\).

4. Неравенство \(\leq 0\) выполняется на интервалах с отрицательным знаком. Ответ: \(x \in [-2, \frac{1}{2}]\).

19. \( (x + 8) \cdot (3x + 1) \leq 0 \)

1. Найдем нули:
   \( x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8\) и \(3x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}\).

2. Разбиваем числовую прямую на интервалы:
   \((- \infty, -8)\), \((-8, -\frac{1}{3})\), \((- \frac{1}{3}, +\infty)\).

3. Определяем знак на каждом интервале:

   • На \((- \infty, -8)\): выберем \(x = -9\), \((-9 + 8) \cdot (3 \cdot -9 + 1) = -27\), знак \(+\).
   • На \((-8, -\frac{1}{3})\): выберем \(x = -1\), \((-1 + 8) \cdot (3 \cdot -1 + 1) = -14\), знак \(-\).
   • На \((- \frac{1}{3}, +\infty)\): выберем \(x = 0\), \((0 + 8) \cdot (3 \cdot 0 + 1) = 8\), знак \(+\).

4. Неравенство \(\leq 0\) выполняется на интервалах с отрицательным знаком. Ответ: \(x \in [-8, -\frac{1}{3}]\).

20. \( (-x + 3) \cdot (x + 1) \geq 0 \)

1. Найдем нули:
   \(-x + 3 = 0 \Rightarrow x = 3\) и \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\).

2. Разбиваем числовую прямую на интервалы:
   \((- \infty, -1)\), \((-1, 3)\), \((3, +\infty)\).

3. Определяем знак на каждом интервале:

   • На \((- \infty, -1)\): выберем \(x = -2\), \((-(-2) + 3) \cdot (-2 + 1) = -1\), знак \(-\).
   • На \((-1, 3)\): выберем \(x = 0\), \((-0 + 3) \cdot (0 + 1) = 3\), знак \(+\).
   • На \((3, +\infty)\): выберем \(x = 4\), \((-4 + 3) \cdot (4 + 1) = -5\), знак \(-\).

4. Неравенство \(\geq 0\) выполняется на интервалах с положительным знаком. Ответ: \(x \in [-1, 3]\).

Таким образом, все неравенства решены методом интервалов.