Стрелок стреляет по десяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,9. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно десять мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно девять мишеней»?

Для решения этой задачи мы будем использовать комбинации и вероятность. Давайте разберем ее шаг за шагом. ### 1. Условия задачи Стрелок стреляет по 10 мишеням, и на каждую мишень можно выпустить до 2 выстрелов. Вероятность попасть в мишень с одного выстрела равна 0,9. Это значит, что вероятность промаха составляет \( 1 - 0,9 = 0,1 \). ### 2. Вероятности событий Нам нужно рассчитать вероятность того, что стрелок поразит ровно 10 мишеней, и вероятность того, что он поразит ровно 9 мишеней. #### a. Вероятность поразить 10 мишеней Для того чтобы поразить все 10 мишеней, стрелок должен попасть в каждую мишень хотя бы один раз. Мы используем обозначение: - \( p = 0,9 \) (вероятность попасть) - \( q = 0,1 \) (вероятность промаха) Чтобы поразить 10 мишеней: - Стрелок может попасть с первого выстрела в каждую мишень или со второго. Первая часть: допустим, он попадает в первую попытку во все мишени. Это происходит с вероятностью \( p^{10} \). Вторая часть: он может попасть один раз в каждую из мишеней, но один из выстрелов окажется неудачным. Но так как мы уже учли, что стрелок использует не более 2 выстрелов и имеется вероятность 0,9 на успешный выстрел, то вероятность попасть в каждую мишень так, чтобы поразить 10 мишеней, равна просто \( p^{10} \). **Таким образом:** \[ P(10) = p^{10} = 0,9^{10} \] #### b. Вероятность поразить 9 мишеней Для того чтобы поразить 9 мишеней, стрелок должен: - Попасть в 9 мишеней, и - Промахнуться хотя бы в одной. А также он может попасть во все 9 мишеней с одного выстрела, а 10-ю мишень — со второго. Мы можем рассмотреть два случая: 1. Если он попадает в 9 мишеней с первого выстрела и промахивается в одной мишени. 2. Если он попадает в 8 мишеней с первого раза и в одну мишень со второго. Для 1-го случая: - Стрелок выбирает 9 из 10 мишеней, в которые он попадает с вероятностью \( p^{9} \cdot q^{1} \). Вероятность для 1-го случая: \[ \text{Вероятность (9 поп. 1 пром.)} = C(10, 9) \cdot p^{9} \cdot q^{1} = 10 \cdot (0,9^9) \cdot (0,1) = 10 \cdot 0,38742 \cdot 0,1 \] Для 2-го случая: - Стрелок попадает в 8 из 10, одну мишень поражает со второго выстрела, и одну промахивает. Вероятность для 2-го случая: \[ C(10, 8) \cdot p^{8} \cdot q^{2} = 45 \cdot (0,9^8) \cdot (0,1^2) = 45 \cdot 0,43046721 \cdot 0,01 \] Теперь сложим обе вероятности, чтобы получить общую вероятность поразить ровно 9 мишеней: \[ P(9) = 10 \cdot (0,9^9) \cdot (0,1) + 45 \cdot (0,9^8) \cdot (0,1^2) \] ### 3. Сравнение вероятностей Теперь можно найти во сколько раз вероятность поразить 10 мишеней больше, чем вероятность поразить 9 мишеней: \[ \text{Отношение} = \frac{P(10)}{P(9)} \] Подставляя полученные значения, мы можем вычислить итоговые вероятности и их отношение. ### 4. Подсчеты - \( P(10) = 0,3486784401 \) - \( P(9) = 10 \cdot 0,38742 \cdot 0,1 + 45 \cdot 0,43046721 \cdot 0,01 \approx 0,38742 + 0,193752 = 0,581172 \). Теперь найдем отношение: \[ \text{Отношение} = \frac{0,3486784401}{0,581172} \] ### 5. Ответ После подстановки и расчетов получаем ответ, что Стрелок поразит ровно 10 мишеней более чем в 0,6 раз больше вероятности, чем 9 мишеней.