Для того чтобы найти общий вид первообразных функции ( f(x) = 5x^2 - 1 ), мы будем использовать правило интегрирования. Первообразная функции — это функция, производная которой равна данной функции.
Шаг 1: Записать определение
Если ( F(x) ) — первообразная функции ( f(x) ), то выполняется следующее равенство:
[
F'(x) = f(x)
]
Шаг 2: Интегрирование
Мы можем интегрировать ( f(x) = 5x^2 - 1 ):
[
F(x) = \int (5x^2 - 1) , dx
]
Шаг 3: Разделить интеграл
Для удобства разделим интеграл на два отдельных интеграла:
[
F(x) = \int 5x^2 , dx - \int 1 , dx
]
Шаг 4: Найти каждый интеграл
Теперь решим каждый интеграл отдельно:
Для ( \int 5x^2 , dx ):
- Используем правило интегрирования ( \int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ). В нашем случае ( n = 2 ):
[
\int 5x^2 , dx = 5 \cdot \frac{x^{3}}{3} = \frac{5}{3} x^3
]
Для ( \int 1 , dx ):
- Это просто:
[
\int 1 , dx = x
]
Шаг 5: Сложить результаты интегрирования
Теперь подставим результаты обратно в уравнение для ( F(x) ):
[
F(x) = \frac{5}{3} x^3 - x + C
]
где ( C ) — произвольная константа, так как первообразные всегда могут отличаться на константу.
Ответ
Таким образом, общий вид первообразных функции ( f(x) = 5x^2 - 1 ) будет:
[
F(x) = \frac{5}{3} x^3 - x + C
]
где ( C ) — произвольная константа.
