f(x)=5х²-1 найдите общий вид первообразных функций F
Для того чтобы найти общий вид первообразных функции \( f(x) = 5x^2 - 1 \), мы будем использовать правило интегрирования. Первообразная функции — это функция, производная которой равна данной функции.
Шаг 1: Записать определение
Если \( F(x) \) — первообразная функции \( f(x) \), то выполняется следующее равенство:
\[ F'(x) = f(x) \]
Шаг 2: Интегрирование
Мы можем интегрировать \( f(x) = 5x^2 - 1 \):
\[ F(x) = \int (5x^2 - 1) \, dx \]
Шаг 3: Разделить интеграл
Для удобства разделим интеграл на два отдельных интеграла:
\[ F(x) = \int 5x^2 \, dx - \int 1 \, dx \]
Шаг 4: Найти каждый интеграл
Теперь решим каждый интеграл отдельно:
Для \( \int 5x^2 \, dx \):
- Используем правило интегрирования \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \). В нашем случае \( n = 2 \): \[ \int 5x^2 \, dx = 5 \cdot \frac{x^{3}}{3} = \frac{5}{3} x^3 \]
Для \( \int 1 \, dx \):
- Это просто: \[ \int 1 \, dx = x \]
Шаг 5: Сложить результаты интегрирования
Теперь подставим результаты обратно в уравнение для \( F(x) \):
\[ F(x) = \frac{5}{3} x^3 - x + C \]
где \( C \) — произвольная константа, так как первообразные всегда могут отличаться на константу.
Ответ
Таким образом, общий вид первообразных функции \( f(x) = 5x^2 - 1 \) будет:
\[ F(x) = \frac{5}{3} x^3 - x + C \]
где \( C \) — произвольная константа.
