Найди точки пересечения окружности, заданной уравнением ( x − 5 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 36 (x−5) 2 +(y+4) 2 =36 , с осями координат.
Чтобы найти точки пересечения окружности с осями координат, начнем с уравнения окружности:
\[ (x - 5)^2 + (y + 4)^2 = 36 \]
Шаг 1: Определение параметров окружности
Это уравнение окружности имеет вид \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), где:
- \((a, b)\) - центр окружности. В нашем случае \(a = 5\), \(b = -4\), то есть центр окружности находится в точке \((5, -4)\).
- \(r\) - радиус окружности. Здесь радиус \(r = \sqrt{36} = 6\).
Шаг 2: Пересечение с осью X
Чтобы найти точку пересечения окружности с осью X, мы подставим \(y = 0\) в уравнение окружности.
Подставляем \(y = 0\) в уравнение:
\[ (x - 5)^2 + (0 + 4)^2 = 36 \]
Сначала упростим уравнение:
\[ (x - 5)^2 + 16 = 36 \]
Теперь вычтем 16 из обеих частей:
\[ (x - 5)^2 = 20 \]
Теперь найдем \(x\):
\[ x - 5 = \pm \sqrt{20} \] \[ x - 5 = \pm 2\sqrt{5} \]
Таким образом, \(x\) равен:
\[ x = 5 + 2\sqrt{5} \quad \text{и} \quad x = 5 - 2\sqrt{5} \]
Итак, точки пересечения с осью X:
\[ (5 + 2\sqrt{5}, 0) \quad \text{и} \quad (5 - 2\sqrt{5}, 0) \]
Шаг 3: Пересечение с осью Y
Теперь найдем точку пересечения окружности с осью Y, подставив \(x = 0\):
\[ (0 - 5)^2 + (y + 4)^2 = 36 \]
Упрощаем:
\[ 25 + (y + 4)^2 = 36 \]
Вычтем 25 из обеих частей:
\[ (y + 4)^2 = 11 \]
Теперь извлечем корень:
\[ y + 4 = \pm \sqrt{11} \]
Таким образом:
\[ y = -4 + \sqrt{11} \quad \text{и} \quad y = -4 - \sqrt{11} \]
Итак, точки пересечения с осью Y:
\[ (0, -4 + \sqrt{11}) \quad \text{и} \quad (0, -4 - \sqrt{11}) \]
Итоговые точки пересечения:
С осью X:
- \( (5 + 2\sqrt{5}, 0) \)
- \( (5 - 2\sqrt{5}, 0) \)
С осью Y:
- \( (0, -4 + \sqrt{11}) \)
- \( (0, -4 - \sqrt{11}) \)
Теперь у вас есть все необходимые шаги и объяснения для нахождения точек пересечения окружности с осями координат! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
