Заполните пропуски так, чтобы получилось верное решение. Условие. В однокруговом футбольном турнире участвовало 15 команд. После завершения турнира оказалось, что некоторые 6…
Заполните пропуски так, чтобы получилось верное решение. Условие. В однокруговом футбольном турнире участвовало 15 команд. После завершения турнира оказалось, что некоторые 6 команд набрали хотя бы N очков каждая. Какое наибольшее целое значение может принимать N ? Решение. Назовём эти 6 команд успешными, а остальные 9 команд назовём неуспешными. Назовём игру двух успешных команд внутренней, а игру успешной и неуспешной команды — внешней. За каждую игру участвующие в ней команды суммарно получают не более 3 очков. Так как внутренних игр было ровно 5 , то только за такие игры все успешные команды суммарно заработали не более 3 ⋅ 6 = 15 очков. Внешних игр было ровно 6 , и в каждой такой игре успешная команда зарабатывала не более 3 очков. Итого за внешние игры все успешные команды суммарно набрали не более 3 ⋅ 6 = 18 очков. По условию успешные команды суммарно набрали хотя бы 6N очков, поэтому получаем неравенство 6N⩽ . Учитывая, что N является целым числом, из этого неравенства следует, что N⩽ . Докажем, что эта оценка точная. Для этого приведём пример для N= . Пронумеруем команды римскими числами от I до XV . Покажем, как команды от I до VI могут набрать нужное число очков. Пусть каждая команда от I до VI выиграла у каждой команды от VII до XV , тогда только за такие игры каждая команда от I до VI набрала очков. Пусть команды от I до VI играли между собой так, как указано в таблице. I II III IV V VI I 3 3 1 0 0 II 0 3 3 1 0 III 0 0 3 3 1 IV 1 0 0 3 3 V 3 1 0 0 3 VI 3 3 1 0 0 Пусть в каждой игре команд от от VII до XV выиграла команда с большим номером (исход этих игр не имеет значения). Итого в таком турнире каждая из команд от I до VI набрала ровно очка.
Чтобы решить задачу, давайте по шагам разберем логику и выводы, представленные в условии.
Шаг 1: Обозначение команд и их результатов
Пусть в турнире участвуют 15 команд, из которых 6 команд обозначим как успешные (команды I, II, III, IV, V, VI) и 9 команд как неуспешные (команды VII, VIII, IX, X, XI, XII, XIII, XIV, XV).
Каждая игра между двумя командами дает в сумме не более 3 очков (победитель получает 3 очка, проигравший — 0). Таким образом, для определения максимального количества очков, которое могут получить успешные команды, необходимо учесть как внутренние (в играх между самими успешными командами), так и внешние (в играх с неуспешными командами) игры.
Шаг 2: Внутренние и внешние игры
Внутренние игры:
- Количество внутренних игр среди 6 команд: \(\binom{6}{2} = 15\) (поскольку каждая команда играет с каждой).
- Очки, которые могут быть получены за все внутренние игры: максимум \(3 \times 15 = 45\) очков.
Внешние игры:
- Каждая из 6 успешных команд играет с каждым из 9 неуспешных (внешние игры).
- Количество внешних игр: \((6 \cdot 9 = 54)\) игр.
- Очки, полученные за внешние игры: максимум \(3 \cdot 54 = 162\) очка.
Шаг 3: Объединение результатов
Суммарное количество очков, которое могут набрать все 6 успешных команд, вычисляется как:
- Максимум внутренние очки (45) + максимум внешние очки (162):
\[ \text{Максимум очков успешных команд} = 45 + 162 = 207 \]
Шаг 4: Установка неравенства дляN
По условию задачи, успешные команды набрали хотя бы \(6N\) очков, где \(N\) — минимум количество очков, которые набрала каждая успешная команда. Таким образом, мы можем установить:
\[ 6N \leq 207 \]
Шаг 5: Оценка, как найти N
Мы можем теперь выразить \(N\):
\[ N \leq \frac{207}{6} = 34.5 \]
Поскольку \(N\) должно быть целым числом, то максимальное целое значение, которое может принимать \(N\), будет равно:
\[ N \leq 34 \]
Шаг 6: Пример для N = 34
Чтобы показать, что такое значение действительно возможно, можно построить пример:
- Предположим, каждая из 6 команд (I, II, III, IV, V, VI) выигрывает все внешние игры (это 9 игр на команду).
- Каждая команда набирает 27 очков за внешние игры (9 игр * 3 очка).
- В играх между собой успешные команды могут распределить 7 дополнительных очков (чтобы довести до 34).
- Можно построить матрицу, где каждая успешная команда выигрывает в определённое количество внутренних игр, но при этом они настолько равномерно распределяют победы, чтобы в итоге у каждой из них вышло ровно по 34 очка.
Таким образом, наибольшее целое значение можно взять \(N = 34\). Это завершает решение задачи.
