Найди первый член геометрической прогрессии, если сумма первых пяти членов равна 7815, а знаменатель равен q=−5

Чтобы найти первый член геометрической прогрессии, начнем с некоторых определений и формул, связанных с геометрической прогрессией.

Определения:

1. Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число (знаменатель).
2. Обозначим первый член прогрессии как \( a \) и знаменатель как \( q \).

Формула суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии:

Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии можно вычислить по формуле: \[ S_n = a \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1) \] где:

• \( S_n \) — сумма первых \( n \) членов,
• \( a \) — первый член,
• \( q \) — знаменатель,
• \( n \) — количество членов.

Шаги для решения задачи:

1. Подставим известные значения в формулу. У нас \( S_5 = 7815 \), \( n = 5 \) и \( q = -5 \): \[ S_5 = a \frac{1 - q^5}{1 - q} \] Подставляем значения: \[ 7815 = a \frac{1 - (-5)^5}{1 - (-5)} \]

2. Найдем \( (-5)^5 \): \[ (-5)^5 = -3125 \] Теперь подставим это в уравнение: \[ 7815 = a \frac{1 - (-3125)}{1 + 5} \] Это упростится до: \[ 7815 = a \frac{1 + 3125}{6} \] \[ 7815 = a \frac{3126}{6} \]

3. Упростим \(\frac{3126}{6}\): \[ \frac{3126}{6} = 521 \] Теперь уравнение выглядит так: \[ 7815 = a \cdot 521 \]

4. Найдем \( a \): \[ a = \frac{7815}{521} \]

5. Выполним деление: \[ a \approx 15 \]

Ответ

Первый член геометрической прогрессии \( a \) равен \( 15 \).

Таким образом, мы нашли, что первый член прогрессии составляет 15 при заданной сумме первых пяти членов и знаменателе -5.