Найти а и разность арифметической прогрессии, если a_{5} = 16 ; a_{9} = 28 .
Чтобы решить задачу, давайте вспомним свойства арифметической прогрессии (АП).
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается из предыдущего добавлением постоянного числа, называемого разностью прогрессии (обозначим её как \(d\)).
Элементы арифметической прогрессии могут быть выражены с помощью формулы: \[ a_n = a + (n-1)d \] где:
- \(a_n\) — n-ый член прогрессии,
- \(a\) — первый член,
- \(d\) — разность прогрессии,
- \(n\) — порядковый номер члена.
В нашей задаче даны два члена: \(a_5\) и \(a_9\).
Записываем уравнения для \(a_5\) и \(a_9\): \[ a_5 = a + 4d = 16 \quad (1) \] \[ a_9 = a + 8d = 28 \quad (2) \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными (a и d). Найдем разность \(d\): Выразим \(a\) из уравнения (1): \[ a = 16 - 4d \] Подставим это выражение для \(a\) в уравнение (2): \[ a + 8d = 28 \] Подставляем \(a\): \[ (16 - 4d) + 8d = 28 \] Упрощаем: \[ 16 - 4d + 8d = 28 \] \[ 16 + 4d = 28 \] \[ 4d = 28 - 16 \] \[ 4d = 12 \] \[ d = \frac{12}{4} = 3 \]
Теперь найдём \(a\), используя значение \(d = 3\): Подставляем \(d\) обратно в уравнение (1): \[ a = 16 - 4 \cdot 3 \] \[ a = 16 - 12 = 4 \]
Итак, мы нашли:
- Первый член прогрессии \(a = 4\)
- Разность прогрессии \(d = 3\)
Ответ:
- Первый член \(a = 4\)
- Разность арифметической прогрессии \(d = 3\)
