Даны три вектора: a=12i-3j-4k, b=i+2j+4k, c=i-3j-2k. Вычислите проекцию вектора b+c на вектор a
Для нахождения проекции вектора \( \mathbf{b} + \mathbf{c} \) на вектор \( \mathbf{a} \), сначала необходимо найти векторы \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \), а затем сложить их.
- Сложите векторы \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \):
\[ \mathbf{b} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 4\mathbf{k} \] \[ \mathbf{c} = \mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 2\mathbf{k} \]
Сложение даёт:
\[ \mathbf{b} + \mathbf{c} = (\mathbf{i} + \mathbf{i}) + (2\mathbf{j} - 3\mathbf{j}) + (4\mathbf{k} - 2\mathbf{k}) = 2\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k} \]
- Теперь найдите проекцию \( \mathbf{b} + \mathbf{c} \) на \( \mathbf{a} \). Проекция вектора \( \mathbf{u} \) на вектор \( \mathbf{v} \) вычисляется по формуле:
\[ \text{proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u} = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}} \mathbf{v} \]
где \( \cdot \) — это скалярное произведение.
В нашем случае:
\[ \mathbf{u} = \mathbf{b} + \mathbf{c} = 2\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k} \] \[ \mathbf{v} = \mathbf{a} = 12\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 4\mathbf{k} \]
- Вычислите скалярное произведение \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \):
\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (2)(12) + (-1)(-3) + (2)(-4) = 24 + 3 - 8 = 19 \]
- Вычислите \( \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} \):
\[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = (12)(12) + (-3)(-3) + (-4)(-4) = 144 + 9 + 16 = 169 \]
- Теперь подставьте в формулу проекции:
\[ \text{proj}_{\mathbf{a}} (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \frac{19}{169} \mathbf{a} \]
- Вычислите проекцию:
\[ \text{proj}_{\mathbf{a}} (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \frac{19}{169} (12\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 4\mathbf{k}) = \left( \frac{19 \cdot 12}{169} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{19 \cdot (-3)}{169} \right) \mathbf{j} + \left( \frac{19 \cdot (-4)}{169} \right) \mathbf{k} \] \[ = \frac{228}{169} \mathbf{i} - \frac{57}{169} \mathbf{j} - \frac{76}{169} \mathbf{k} \]
Таким образом, проекция вектора \( \mathbf{b} + \mathbf{c} \) на вектор \( \mathbf{a} \) равна:
\[ \text{proj}_{\mathbf{a}} (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \frac{228}{169} \mathbf{i} - \frac{57}{169} \mathbf{j} - \frac{76}{169} \mathbf{k} \]
