Площадь параллелограмма, построенного на векторах ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ), можно вычислить с помощью векторного произведения. Площадь равна модулю векторного произведения:
[
S = |\vec{a} \times \vec{b}|
]
Где:
[
\vec{a} = 3\vec{i} + 5\vec{j} + 4\vec{k}
]
[
\vec{b} = \vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k}
]
Для вычисления векторного произведения ( \vec{a} \times \vec{b} ), используем детерминант:
[
\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
3 & 5 & 4 \
1 & 2 & 3
\end{vmatrix}
]
Решите этот детерминант:
[
\vec{a} \times \vec{b} = \vec{i} \begin{vmatrix}
5 & 4 \
2 & 3
\end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix}
3 & 4 \
1 & 3
\end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix}
3 & 5 \
1 & 2
\end{vmatrix}
]
Теперь вычислим детерминанты:
( \begin{vmatrix}
5 & 4 \
2 & 3
\end{vmatrix} = (5 \cdot 3) - (4 \cdot 2) = 15 - 8 = 7 )
( \begin{vmatrix}
3 & 4 \
1 & 3
\end{vmatrix} = (3 \cdot 3) - (4 \cdot 1) = 9 - 4 = 5 )
( \begin{vmatrix}
3 & 5 \
1 & 2
\end{vmatrix} = (3 \cdot 2) - (5 \cdot 1) = 6 - 5 = 1 )
Теперь можем подставить значения в векторное произведение:
[
\vec{a} \times \vec{b} = 7\vec{i} - 5\vec{j} + 1\vec{k}
]
Теперь найдем модуль этого вектора:
[
|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{7^2 + (-5)^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 25 + 1} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}
]
Таким образом, площадь параллелограмма равна:
[
S = 5\sqrt{3}
]
