Вычислите площадь параллелограмма построенного на векторах: a=3i+5j+4k и b=i+2j+3k

Площадь параллелограмма, построенного на векторах \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), можно вычислить с помощью векторного произведения. Площадь равна модулю векторного произведения:

\[ S = |\vec{a} \times \vec{b}| \]

Где:

\[ \vec{a} = 3\vec{i} + 5\vec{j} + 4\vec{k} \]

\[ \vec{b} = \vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k} \]

Для вычисления векторного произведения \( \vec{a} \times \vec{b} \), используем детерминант:

\[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 5 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} \]

Решите этот детерминант:

\[ \vec{a} \times \vec{b} = \vec{i} \begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \]

Теперь вычислим детерминанты:

1. \( \begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = (5 \cdot 3) - (4 \cdot 2) = 15 - 8 = 7 \)

2. \( \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (3 \cdot 3) - (4 \cdot 1) = 9 - 4 = 5 \)

3. \( \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (3 \cdot 2) - (5 \cdot 1) = 6 - 5 = 1 \)

Теперь можем подставить значения в векторное произведение:

\[ \vec{a} \times \vec{b} = 7\vec{i} - 5\vec{j} + 1\vec{k} \]

Теперь найдем модуль этого вектора:

\[ |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{7^2 + (-5)^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 25 + 1} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \]

Таким образом, площадь параллелограмма равна:

\[ S = 5\sqrt{3} \]