2х²+7х-9=0 реши через теорему виета

Решим уравнение \(2x^2 + 7x - 9 = 0\) с помощью теоремы Виета.

Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду

У нас есть квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где:

• \(a = 2\)
• \(b = 7\)
• \(c = -9\)

Шаг 2: Найдем сумму и произведение корней

По теореме Виета, если корни уравнения — \(x_1\) и \(x_2\), то:

• Сумма корней: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)
• Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)

Подставляем значения:

1. Сумма корней: \[ x_1 + x_2 = -\frac{7}{2} \]

2. Произведение корней: \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{-9}{2} \]

Шаг 3: Обозначим корни

Обозначим корни уравнения как \(x_1\) и \(x_2\). У нас есть две системы уравнений:

1. \(x_1 + x_2 = -\frac{7}{2}\)
2. \(x_1 \cdot x_2 = \frac{-9}{2}\)

Шаг 4: Выразим один корень через другой

Пусть \(x_2 = -\frac{7}{2} - x_1\). Подставим это во второе уравнение: \[ x_1 \left(-\frac{7}{2} - x_1\right) = \frac{-9}{2} \]

Раскроем скобки: \[ -\frac{7}{2}x_1 - x_1^2 = \frac{-9}{2} \] Перепишем уравнение: \[ x_1^2 + \frac{7}{2}x_1 - \frac{9}{2} = 0 \]

Шаг 5: Умножим на 2

Чтобы избавиться от дробей, умножим все уравнение на 2: \[ 2x_1^2 + 7x_1 - 9 = 0 \]

Это уравнение аналогично исходному. Решим его через дискриминант.

Шаг 6: Найдем дискриминант

Дискриминант \(D\) для квадратного уравнения равен: \[ D = b^2 - 4ac \] Где \(a = 2\), \(b = 7\), \(c = -9\): \[ D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121 \]

Шаг 7: Найдем корни

Теперь можем найти корни с помощью формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем значения: \[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm 11}{4} \]

Шаг 8: Вычислим корни

1. Первый корень: \[ x_1 = \frac{-7 + 11}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]

2. Второй корень: \[ x_2 = \frac{-7 - 11}{4} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2} \]

Ответ:

Корни уравнения \(2x^2 + 7x - 9 = 0\) равны: \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -\frac{9}{2} \]

Таким образом, мы используем теорему Виета для поиска корней квадратного уравнения и подтверждаем их с помощью дискриминанта.