Решите

Для решения этой задачи необходимо использовать теорему о вписанных углах и свойства окружностей.

1. Теорема о вписанных углах: Углы, пересекающие одну и ту же дугу, равны. В данной задаче углы \(\angle MmN\) и \(\angle NnM\) являются углами, опирающимися на дуги \(MN\) и \(NM\) соответственно.

2. Обозначим известное: \[ \angle MmN : \angle NnM = 2:3 \]

3. Пусть \(\angle MmN = 2x\) и \(\angle NnM = 3x\).

4. Основное свойство: Сумма углов, опирающихся на полную окружность, равна \(360^\circ\) или углы, составляющие вписанное четырехугольник в окружности, в сумме дают \(180^\circ\).

5. Если рассматривать это как вписанные углы: \[ \angle MmN + \angle NnM = \frac{\text{дуга \(MN\)} + \text{дуга \(NM\)}}{2} = 180^\circ \]

6. Подставим выражения углов: \[ 2x + 3x = 180^\circ \]

7. Решим уравнение: \[ 5x = 180^\circ \] \[ x = 36^\circ \]

8. Найдем сами углы: \[ \angle MmN = 2x = 2 \times 36^\circ = 72^\circ \] \[ \angle NnM = 3x = 3 \times 36^\circ = 108^\circ \]

Заключение: углы \(\angle MmN = 72^\circ\) и \(\angle NnM = 108^\circ\).