Решите

Для решения этой задачи необходимо использовать теорему о вписанных углах и свойства окружностей. 1. **Теорема о вписанных углах:** Углы, пересекающие одну и ту же дугу, равны. В данной задаче углы \(\angle MmN\) и \(\angle NnM\) являются углами, опирающимися на дуги \(MN\) и \(NM\) соответственно. 2. **Обозначим известное:** \[ \angle MmN : \angle NnM = 2:3 \] 3. **Пусть \(\angle MmN = 2x\) и \(\angle NnM = 3x\).** 4. **Основное свойство:** Сумма углов, опирающихся на полную окружность, равна \(360^\circ\) или углы, составляющие вписанное четырехугольник в окружности, в сумме дают \(180^\circ\). 5. **Если рассматривать это как вписанные углы:** \[ \angle MmN + \angle NnM = \frac{\text{дуга \(MN\)} + \text{дуга \(NM\)}}{2} = 180^\circ \] 6. **Подставим выражения углов:** \[ 2x + 3x = 180^\circ \] 7. **Решим уравнение:** \[ 5x = 180^\circ \] \[ x = 36^\circ \] 8. **Найдем сами углы:** \[ \angle MmN = 2x = 2 \times 36^\circ = 72^\circ \] \[ \angle NnM = 3x = 3 \times 36^\circ = 108^\circ \] Заключение: углы \(\angle MmN = 72^\circ\) и \(\angle NnM = 108^\circ\).