S1;-1(;1-5*)^4dx
Для решения интеграла \( S = \int -1 (1 - 5x)^4 \, dx \) шаг за шагом, начнем с упрощения выражения.
Раскроем скобки: В данном случае у нас есть множитель \(-1\) перед интегралом, и выражение \((1 - 5x)^4\). Мы можем начать с того, чтобы подставить это выражение в интеграл, получая:
\[ S = - \int (1 - 5x)^4 \, dx \]
Используем подстановку: Упрощим интеграл с помощью подстановки. Пусть \( u = 1 - 5x \), тогда производная \( du = -5 \, dx \) или \( dx = -\frac{1}{5} \, du \). Теперь поменяем пределы интегрирования и сам интеграл:
\[ S = - \int u^4 \left(-\frac{1}{5}\right) \, du = \frac{1}{5} \int u^4 \, du \]
Интегрирование: Теперь мы можем интегрировать \( u^4 \). Формула для интегрирования степени выглядит так:
\[ \int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \]
Подставив \( n = 4 \):
\[ \int u^4 \, du = \frac{u^5}{5} + C \]
Теперь подставим это обратно в наше выражение для \( S \):
\[ S = \frac{1}{5} \left( \frac{u^5}{5} + C \right) = \frac{u^5}{25} + C_1 \]
где \( C_1 = \frac{C}{5} \).
Возвращаемся к переменной \( x \): Теперь нужно подставить обратно \( u = 1 - 5x \):
\[ S = \frac{(1 - 5x)^5}{25} + C_1 \]
Записываем окончательное решение: Окончательный ответ на интеграл:
\[ S = \frac{(1 - 5x)^5}{25} + C \]
Где \( C \) — произвольная константа интегрирования.
Таким образом, мы получили результат интегрирования исходной функции. Если у вас есть еще вопросы по этой теме или другим задачам, не стесняйтесь спрашивать!
