Для решения задачи, давайте начнем с нахождения сторон треугольника АБК, используя данные, которые у нас есть. Треугольник задан следующими характеристиками:
- AB = 3 (одна из сторон треугольника)
- AK = 8 (другая сторона треугольника)
- Угол A = 60°
Чтобы найти третью сторону (BK) и периметр, мы будем использовать теорему косинусов, которая гласит:
[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) ]
где:
- ( c ) — сторона, противолежащая углу ( C ),
- ( a ) и ( b ) — другие две стороны,
- ( C ) — угол между сторонами ( a ) и ( b ).
В нашем случае:
- ( a = AB = 3 )
- ( b = AK = 8 )
- ( C = \angle A = 60^\circ )
Таким образом, нам нужно найти сторону BK. Мы обозначим её как ( c = BK ).
Применим теорему косинусов:
[
BK^2 = AB^2 + AK^2 - 2 \cdot AB \cdot AK \cdot \cos(A)
]
Подставим известные значения:
[
BK^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)
]
Значение ( \cos(60^\circ) = 0.5 ):
[
BK^2 = 9 + 64 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 0.5
]
[
BK^2 = 9 + 64 - 24
]
[
BK^2 = 49
]
Теперь найдем ( BK ):
[
BK = \sqrt{49} = 7
]
Теперь, когда мы нашли длины всех сторон треугольника, можем вычислить периметр. Периметр ( P ) треугольника равен сумме всех его сторон:
[
P = AB + AK + BK
]
Подставляя значения:
[
P = 3 + 8 + 7
]
[
P = 18
]
Таким образом, периметр треугольника АБК равен 18.
