Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с понимания того, что нам дана квадратичная зависимость. Это значит, что у нас есть функция, описывающая поступления в бюджет от ставки налога, которая имеет вид:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
где
- \( x \) — ставка налога на продажу (в процентах),
- \( f(x) \) — суммарные поступления в бюджет (в миллиардах фантиков),
- \( a \), \( b \), и \( c \) — константы, которые нам нужно определить.
Мы знаем три точки, откуда можем извлечь информацию:
- \( f(10) = 1.3 \) (при ставке налога 10% поступления 1.3 млрд фантиков)
- \( f(33) = 1.3 \) (при ставке налога 33% поступления 1.3 млрд фантиков)
- \( f(27) = 1.6 \) (при ставке налога 27% поступления 1.6 млрд фантиков)
Таким образом, у нас есть система уравнений:
- \( a(10^2) + b(10) + c = 1.3 \)
- \( a(33^2) + b(33) + c = 1.3 \)
- \( a(27^2) + b(27) + c = 1.6 \)
Теперь можем подставить значения и упростить уравнения:
- \( 100a + 10b + c = 1.3 \) (Уравнение 1)
- \( 1089a + 33b + c = 1.3 \) (Уравнение 2)
- \( 729a + 27b + c = 1.6 \) (Уравнение 3)
Теперь у нас есть три уравнения с тремя неизвестными. Мы будем вычитать уравнения друг из друга, чтобы избавиться от \( c \):
Вычтем Уравнение 1 из Уравнения 2:
\[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1.3 - 1.3 \] \[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b = 0 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad (1) \]
Теперь вычтем Уравнение 1 из Уравнения 3:
\[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3 \] \[ (729 - 100)a + (27 - 10)b = 0.3 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \quad (2) \]
Теперь из Уравнения (1):
\[ b = -\frac{989}{23}a \]
Подставим значение \( b \) в Уравнение (2):
\[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \] \[ 629a - \frac{16813}{23}a = 0.3 \] \[ \left(629 \cdot 23 - 16813\right)a = 0.3 \cdot 23 \]
Вычислим это:
\[ 14467 - 16813 = -2346 \quad \Rightarrow \quad -2346a = 6.9 \] \[ a = -\frac{6.9}{2346} \approx -0.002938 \]
Теперь подставим \( a \) обратно, чтобы найти \( b \):
\[ b = -\frac{989}{23} \cdot (-0.002938) \approx 0.13134 \]
Теперь подставим \( a \) и \( b \) в одно из изначальных уравнений, чтобы найти \( c \).
Выберем Уравнение 1:
\[ 100(-0.002938) + 10(0.13134) + c = 1.3 \] \[ -0.2938 + 1.3134 + c = 1.3 \] \[ c = 1.3 - 1.0196 \approx 0.2804 \]
Теперь у нас есть полная квадратичная функция:
\[ f(x) = -0.002938x^2 + 0.13134x + 0.2804 \]
Чтобы найти максимум этой функции, мы используем формулу для нахождения вершины параболы:
\[ x_{max} = -\frac{b}{2a} \]
Подставим значения:
\[ x_{max} = -\frac{0.13134}{2 \cdot (-0.002938)} \approx \frac{0.13134}{0.005876} \approx 22.34\% \]
Таким образом, ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, приблизительно равна \( 22.34\% \).
