Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.

Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с понимания того, что нам дана квадратичная зависимость. Это значит, что у нас есть функция, описывающая поступления в бюджет от ставки налога, которая имеет вид: \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] где - \( x \) — ставка налога на продажу (в процентах), - \( f(x) \) — суммарные поступления в бюджет (в миллиардах фантиков), - \( a \), \( b \), и \( c \) — константы, которые нам нужно определить. Мы знаем три точки, откуда можем извлечь информацию: 1. \( f(10) = 1.3 \) (при ставке налога 10% поступления 1.3 млрд фантиков) 2. \( f(33) = 1.3 \) (при ставке налога 33% поступления 1.3 млрд фантиков) 3. \( f(27) = 1.6 \) (при ставке налога 27% поступления 1.6 млрд фантиков) Таким образом, у нас есть система уравнений: 1. \( a(10^2) + b(10) + c = 1.3 \) 2. \( a(33^2) + b(33) + c = 1.3 \) 3. \( a(27^2) + b(27) + c = 1.6 \) Теперь можем подставить значения и упростить уравнения: 1. \( 100a + 10b + c = 1.3 \) (Уравнение 1) 2. \( 1089a + 33b + c = 1.3 \) (Уравнение 2) 3. \( 729a + 27b + c = 1.6 \) (Уравнение 3) Теперь у нас есть три уравнения с тремя неизвестными. Мы будем вычитать уравнения друг из друга, чтобы избавиться от \( c \): Вычтем Уравнение 1 из Уравнения 2: \[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1.3 - 1.3 \] \[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b = 0 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad (1) \] Теперь вычтем Уравнение 1 из Уравнения 3: \[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3 \] \[ (729 - 100)a + (27 - 10)b = 0.3 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \quad (2) \] Теперь из Уравнения (1): \[ b = -\frac{989}{23}a \] Подставим значение \( b \) в Уравнение (2): \[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \] \[ 629a - \frac{16813}{23}a = 0.3 \] \[ \left(629 \cdot 23 - 16813\right)a = 0.3 \cdot 23 \] Вычислим это: \[ 14467 - 16813 = -2346 \quad \Rightarrow \quad -2346a = 6.9 \] \[ a = -\frac{6.9}{2346} \approx -0.002938 \] Теперь подставим \( a \) обратно, чтобы найти \( b \): \[ b = -\frac{989}{23} \cdot (-0.002938) \approx 0.13134 \] Теперь подставим \( a \) и \( b \) в одно из изначальных уравнений, чтобы найти \( c \). Выберем Уравнение 1: \[ 100(-0.002938) + 10(0.13134) + c = 1.3 \] \[ -0.2938 + 1.3134 + c = 1.3 \] \[ c = 1.3 - 1.0196 \approx 0.2804 \] Теперь у нас есть полная квадратичная функция: \[ f(x) = -0.002938x^2 + 0.13134x + 0.2804 \] Чтобы найти максимум этой функции, мы используем формулу для нахождения вершины параболы: \[ x_{max} = -\frac{b}{2a} \] Подставим значения: \[ x_{max} = -\frac{0.13134}{2 \cdot (-0.002938)} \approx \frac{0.13134}{0.005876} \approx 22.34\% \] Таким образом, ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, приблизительно равна \( 22.34\% \).