В круг радиуса 3 √ 2 2 см вписан равнобедренный прямоугольный треугольник. В круг наудачу ставится точка. Найдите вероятность того, что она не попадёт в данный треугольник. При…

Для решения задачи начнем с понимания условий. У нас есть круг с радиусом \( R = 3\sqrt{2} \) см и вписанный в него равнобедренный прямоугольный треугольник. Необходимо найти вероятность того, что случайно выбранная точка внутри этого круга не попадет в треугольник.

Шаг 1: Найдем площадь круга

Площадь круга рассчитывается по формуле:

\[ S_{\text{круга}} = \pi R^2 \]

Подставим радиус:

\[ S_{\text{круга}} = \pi (3\sqrt{2})^2 = \pi \times 18 = 18\pi \]

Шаг 2: Найдем площадь равнобедренного прямоугольного треугольника

Равнобедренный прямоугольный треугольник вписан в круг. В таком треугольнике гипотенуза является диаметром круга, а его вершины касаются окружности. Длину гипотенузы можно найти следующим образом:

Диаметр круга:

\[ D = 2R = 2 \times 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \]

Пусть \( a \) – длина катетов равнобедренного треугольника. По теореме Пифагора:

\[ a^2 + a^2 = (6\sqrt{2})^2 \]

\[ 2a^2 = 72 \implies a^2 = 36 \implies a = 6 \]

Теперь можем найти площадь этого треугольника:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18 \]

Шаг 3: Найдем вероятность попадания точки за пределы треугольника

Вероятность того, что точка попадает в треугольник, может быть найдена с помощью соотношения площадей:

\[ P_{\text{попадания}} = \frac{S_{\text{треугольника}}}{S_{\text{круга}}} \]

Теперь подставим найденные площади:

\[ P_{\text{попадания}} = \frac{18}{18\pi} = \frac{1}{\pi} \]

Шаг 4: Найдем вероятность того, что точка не попадёт в треугольник

Вероятность того, что точка не попадёт в треугольник:

\[ P_{\text{не попадания}} = 1 - P_{\text{попадания}} = 1 - \frac{1}{\pi} \]

Используя приближенное значение \(\pi \approx 3\):

\[ P_{\text{не попадания}} \approx 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]

Ответ

Вероятность того, что точка не попадёт в треугольник, приблизительно равна \( \frac{2}{3} \).