Для решения задачи начнем с понимания условий. У нас есть круг с радиусом ( R = 3\sqrt{2} ) см и вписанный в него равнобедренный прямоугольный треугольник. Необходимо найти вероятность того, что случайно выбранная точка внутри этого круга не попадет в треугольник.
Шаг 1: Найдем площадь круга
Площадь круга рассчитывается по формуле:
[
S_{\text{круга}} = \pi R^2
]
Подставим радиус:
[
S_{\text{круга}} = \pi (3\sqrt{2})^2 = \pi \times 18 = 18\pi
]
Шаг 2: Найдем площадь равнобедренного прямоугольного треугольника
Равнобедренный прямоугольный треугольник вписан в круг. В таком треугольнике гипотенуза является диаметром круга, а его вершины касаются окружности. Длину гипотенузы можно найти следующим образом:
Диаметр круга:
[
D = 2R = 2 \times 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}
]
Пусть ( a ) – длина катетов равнобедренного треугольника. По теореме Пифагора:
[
a^2 + a^2 = (6\sqrt{2})^2
]
[
2a^2 = 72 \implies a^2 = 36 \implies a = 6
]
Теперь можем найти площадь этого треугольника:
[
S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18
]
Шаг 3: Найдем вероятность попадания точки за пределы треугольника
Вероятность того, что точка попадает в треугольник, может быть найдена с помощью соотношения площадей:
[
P_{\text{попадания}} = \frac{S_{\text{треугольника}}}{S_{\text{круга}}}
]
Теперь подставим найденные площади:
[
P_{\text{попадания}} = \frac{18}{18\pi} = \frac{1}{\pi}
]
Шаг 4: Найдем вероятность того, что точка не попадёт в треугольник
Вероятность того, что точка не попадёт в треугольник:
[
P_{\text{не попадания}} = 1 - P_{\text{попадания}} = 1 - \frac{1}{\pi}
]
Используя приближенное значение (\pi \approx 3):
[
P_{\text{не попадания}} \approx 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
]
Ответ
Вероятность того, что точка не попадёт в треугольник, приблизительно равна ( \frac{2}{3} ).
