9. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Труд» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Труд» выиграет жребий ровно два раза.
10. На рок-фестивале выступают группы - по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Германии будет выступать после группы из России и после группы из Швеции? Результат округлите до сотых.
Давайте решим задачи одну за другой.
### Задача 9
**Условие:** Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Труд» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Труд» выиграет жребий ровно два раза.
#### Решение:
1. **Понимание задачи:**
- Мы имеем 3 броска монеты (каждый матч – это бросок).
- Вероятность выигрыша жребия (орел) в одном броске равна \( p = \frac{1}{2} \).
- Вероятность проигрыша (решка) равна \( q = \frac{1}{2} \).
- Нам нужно найти вероятность того, что "Труд" выиграет жребий ровно 2 раза.
2. **Модель вероятностей:**
- В данной ситуации мы используем биномиальное распределение. Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом:
\[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
\]
где:
- \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае 3),
- \( k \) — количество успешных испытаний (в нашем случае 2),
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который считается как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \),
- \( p \) и \( q \) — вероятности успеха и неудачи соответственно.
3. **Подставляем значения:**
\( n = 3 \), \( k = 2 \), \( p = \frac{1}{2} \) и \( q = \frac{1}{2} \).
Сначала найдем биномиальный коэффициент \( C(3, 2) \):
\[
C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 1} = 3
\]
4. **Расчет вероятности:**
Теперь подставим все в формулу:
\[
P(X = 2) = C(3, 2) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3-2}
\]
\[
P(X = 2) = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}
\]
5. **Ответ:**
Таким образом, вероятность того, что команда "Труд" выиграет жребий ровно два раза, составляет \( \frac{3}{8} \).
---
### Задача 10
**Условие:** На рок-фестивале выступают группы - по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Германии будет выступать после группы из России и после группы из Швеции? Результат округлите до сотых.
#### Решение:
1. **Определение условий:**
- Пусть есть 3 группы: одна из Германии (G), одна из России (R) и одна из Швеции (S).
- Нас интересует ситуация, когда G выступает после R и S.
2. **Общая перестановка:**
- Всего существует \( 3! = 6 \) разных вариантов расположения групп:
1. G, R, S
2. G, S, R
3. R, G, S
4. R, S, G
5. S, G, R
6. S, R, G
3. **Подходящие варианты:**
- Смотрим на варианты, подходящие под условие (когда G выступает после R и S). Это следующие комбинации:
1. R, S, G
2. S, R, G
- Таким образом, подходящих вариантов всего 2.
4. **Вероятность:**
- Вероятность будет равна количеству подходящих вариантов, делённому на общее количество вариантов:
\[
P(G \text{ после } R \text{ и } S) = \frac{\text{Количество подходящих вариантов}}{\text{Общее количество вариантов}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\]
5. **Ответ в десятичном виде:**
- Округляя до сотых, получаем:
\[
\frac{1}{3} \approx 0.33
\]
Следовательно, вероятность того, что группа из Германии будет выступать после группы из России и группы из Швеции, составляет 0.33.
---
### Общий ответ:
1. Вероятность того, что команда "Труд" выиграет жребий ровно два раза: \( \frac{3}{8} \).
2. Вероятность того, что группа из Германии выступит после группы из России и Швеции: 0.33.
