9. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Труд» играет три матча с разными командами. Найдите…

Давайте решим задачи одну за другой.

Задача 9

Условие: Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Труд» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Труд» выиграет жребий ровно два раза.

Решение:

1. Понимание задачи:

   • Мы имеем 3 броска монеты (каждый матч – это бросок).
   • Вероятность выигрыша жребия (орел) в одном броске равна \( p = \frac{1}{2} \).
   • Вероятность проигрыша (решка) равна \( q = \frac{1}{2} \).
   • Нам нужно найти вероятность того, что "Труд" выиграет жребий ровно 2 раза.

2. Модель вероятностей:

   • В данной ситуации мы используем биномиальное распределение. Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом:

   \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

   где:

   • \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае 3),
   • \( k \) — количество успешных испытаний (в нашем случае 2),
   • \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который считается как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \),
   • \( p \) и \( q \) — вероятности успеха и неудачи соответственно.

3. Подставляем значения: \( n = 3 \), \( k = 2 \), \( p = \frac{1}{2} \) и \( q = \frac{1}{2} \).

   Сначала найдем биномиальный коэффициент \( C(3, 2) \):

   \[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 1} = 3 \]

4. Расчет вероятности:

   Теперь подставим все в формулу:

   \[ P(X = 2) = C(3, 2) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3-2} \]

   \[ P(X = 2) = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \]

5. Ответ: Таким образом, вероятность того, что команда "Труд" выиграет жребий ровно два раза, составляет \( \frac{3}{8} \).

Задача 10

Условие: На рок-фестивале выступают группы - по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Германии будет выступать после группы из России и после группы из Швеции? Результат округлите до сотых.

Решение:

1. Определение условий:

   • Пусть есть 3 группы: одна из Германии (G), одна из России (R) и одна из Швеции (S).
   • Нас интересует ситуация, когда G выступает после R и S.

2. Общая перестановка:

   • Всего существует \( 3! = 6 \) разных вариантов расположения групп:
     1. G, R, S
     2. G, S, R
     3. R, G, S
     4. R, S, G
     5. S, G, R
     6. S, R, G

3. Подходящие варианты:

   • Смотрим на варианты, подходящие под условие (когда G выступает после R и S). Это следующие комбинации:
     1. R, S, G
     2. S, R, G
   • Таким образом, подходящих вариантов всего 2.

4. Вероятность:

   • Вероятность будет равна количеству подходящих вариантов, делённому на общее количество вариантов:

   \[ P(G \text{ после } R \text{ и } S) = \frac{\text{Количество подходящих вариантов}}{\text{Общее количество вариантов}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

5. Ответ в десятичном виде:

   • Округляя до сотых, получаем:

   \[ \frac{1}{3} \approx 0.33 \]

   Следовательно, вероятность того, что группа из Германии будет выступать после группы из России и группы из Швеции, составляет 0.33.

Общий ответ:

1. Вероятность того, что команда "Труд" выиграет жребий ровно два раза: \( \frac{3}{8} \).
2. Вероятность того, что группа из Германии выступит после группы из России и Швеции: 0.33.