Давайте решим выражение ( \frac{3^{17} \cdot 6^{16}}{18^{15}} ) и предоставим детальное решение.
Шаг 1: Разложение основы
Для начала заметим, что числа, содержащиеся в выражении, могут быть разложены на простые множители:
- ( 6 = 2 \cdot 3 )
- ( 18 = 2 \cdot 3^2 )
Теперь можем переписать ( 6^{16} ) и ( 18^{15} ):
[
6^{16} = (2 \cdot 3)^{16} = 2^{16} \cdot 3^{16}
]
[
18^{15} = (2 \cdot 3^2)^{15} = 2^{15} \cdot 3^{30}
]
Шаг 2: Подставим разложенные множители в выражение
Теперь подставим это разложение в исходное выражение:
[
\frac{3^{17} \cdot 6^{16}}{18^{15}} = \frac{3^{17} \cdot (2^{16} \cdot 3^{16})}{(2^{15} \cdot 3^{30})}
]
Шаг 3: Упростим выражение
Соберем все множители в числителе и знаменателе:
[
= \frac{2^{16} \cdot 3^{17 + 16}}{2^{15} \cdot 3^{30}} = \frac{2^{16} \cdot 3^{33}}{2^{15} \cdot 3^{30}}
]
Теперь можем воспользоваться свойствами степеней:
[
= \frac{2^{16}}{2^{15}} \cdot \frac{3^{33}}{3^{30}} = 2^{16-15} \cdot 3^{33-30} = 2^1 \cdot 3^3
]
Шаг 4: Посчитаем результат
Теперь вычислим полученное выражение:
[
2^1 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54
]
Ответ
Таким образом, значение выражения ( \frac{3^{17} \cdot 6^{16}}{18^{15}} ) равно 54.
