Радиус окружности, вписанный в правильный треугольник, равен 12,3 см. Найти сторону треугольника и его площадь
Чтобы решить задачу, воспользуемся формулами для нахождения стороны правильного треугольника и его площади через радиус вписанной окружности.
Шаг 1: Формула радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник
Радиус окружности \( r \), вписанной в равносторонний треугольник, связан со стороной \( a \) треугольника по следующей формуле:
\[ r = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{6} \]
Шаг 2: Подстановка известного значения радиуса
Дано, что радиус \( r = 12,3 \) см. Подставим это значение в формулу:
\[ 12,3 = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{6} \]
Шаг 3: Решение уравнения для нахождения стороны
Умножим обе стороны на 6:
\[ 12,3 \cdot 6 = a \cdot \sqrt{3} \]
Вычислим \( 12,3 \times 6 \):
\[ 73,8 = a \cdot \sqrt{3} \]
Теперь разделим обе стороны на \( \sqrt{3} \):
\[ a = \frac{73,8}{\sqrt{3}} \approx \frac{73,8}{1,732} \approx 42,6 \text{ см} \]
Шаг 4: Нахождение площади треугольника
Площадь \( S \) равностороннего треугольника можно найти по формуле:
\[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]
Теперь подставим найденное значение \( a \):
\[ S = \frac{(42,6)^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \]
Сначала найдем \( (42,6)^2 \):
\[ (42,6)^2 = 1815,76 \]
Теперь подставим в формулу площади:
\[ S = \frac{1815,76 \cdot \sqrt{3}}{4} \approx \frac{1815,76 \cdot 1,732}{4} \approx \frac{3146,74}{4} \approx 786,69 \text{ см}^2 \]
Ответ
- Длина стороны треугольника \( a \approx 42,6 \) см.
- Площадь треугольника \( S \approx 786,69 \) см².
Таким образом, мы нашли сторону треугольника и его площадь. Если есть дополнительные вопросы или непонятные детали, не стесняйтесь спрашивать!
