Чтобы решить задачу, воспользуемся формулами для нахождения стороны правильного треугольника и его площади через радиус вписанной окружности.
Шаг 1: Формула радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник
Радиус окружности ( r ), вписанной в равносторонний треугольник, связан со стороной ( a ) треугольника по следующей формуле:
[
r = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{6}
]
Шаг 2: Подстановка известного значения радиуса
Дано, что радиус ( r = 12,3 ) см. Подставим это значение в формулу:
[
12,3 = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{6}
]
Шаг 3: Решение уравнения для нахождения стороны
Умножим обе стороны на 6:
[
12,3 \cdot 6 = a \cdot \sqrt{3}
]
Вычислим ( 12,3 \times 6 ):
[
73,8 = a \cdot \sqrt{3}
]
Теперь разделим обе стороны на ( \sqrt{3} ):
[
a = \frac{73,8}{\sqrt{3}} \approx \frac{73,8}{1,732} \approx 42,6 \text{ см}
]
Шаг 4: Нахождение площади треугольника
Площадь ( S ) равностороннего треугольника можно найти по формуле:
[
S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}
]
Теперь подставим найденное значение ( a ):
[
S = \frac{(42,6)^2 \cdot \sqrt{3}}{4}
]
Сначала найдем ( (42,6)^2 ):
[
(42,6)^2 = 1815,76
]
Теперь подставим в формулу площади:
[
S = \frac{1815,76 \cdot \sqrt{3}}{4} \approx \frac{1815,76 \cdot 1,732}{4} \approx \frac{3146,74}{4} \approx 786,69 \text{ см}^2
]
Ответ
- Длина стороны треугольника ( a \approx 42,6 ) см.
- Площадь треугольника ( S \approx 786,69 ) см².
Таким образом, мы нашли сторону треугольника и его площадь. Если есть дополнительные вопросы или непонятные детали, не стесняйтесь спрашивать!
