Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна 72–√ . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Для решения задачи начнем с того, что нам даны два тела: цилиндр и конус, которые имеют одинаковое основание и высоту. Условия задачи подсказывают, что высота цилиндра равна радиусу его основания. 1. **Обозначим известные параметры:** - Пусть радиус основания цилиндра (и конуса) равен \( r \). - Так как высота цилиндра равна радиусу, обозначим её как \( h = r \). 2. **Площадь боковой поверхности конуса:** Площадь боковой поверхности конуса (S_к) можно выразить по формуле: \[ S_{к} = \pi r l \] где \( l \) — образующая конуса. Образующая \( l \) может быть найдена по теореме Пифагора, так как она, высота и радиус образуют прямоугольный треугольник: \[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2} \] Подставим это значение в формулу для площади боковой поверхности конуса: \[ S_{к} = \pi r (r\sqrt{2}) = \pi r^2 \sqrt{2} \] 3. **Дано, что площадь боковой поверхности конуса равна \( 72\sqrt{} \).** Это означает: \[ \pi r^2 \sqrt{2} = 72\sqrt{} \] Мы можем выразить \( r^2 \): \[ r^2 = \frac{72\sqrt{}}{\pi \sqrt{2}} = \frac{72}{\pi \sqrt{2/\sqrt{}}} = \frac{72\sqrt{}}{\pi \sqrt{2}} \] 4. **Теперь найдем площадь боковой поверхности цилиндра:** Площадь боковой поверхности цилиндра (S_ц) вычисляется по формуле: \[ S_{ц} = 2\pi r h \] Поскольку \( h = r \), то: \[ S_{ц} = 2\pi r^2 \] 5. **Тогда подставим значение \( r^2 \) в формулу для площади цилиндра:** \[ S_{ц} = 2\pi \left(\frac{72\sqrt{}}{\pi \sqrt{2}} \right) = \frac{144\sqrt{}}{\sqrt{2}} \] 6. **Упростим выражение:** \[ S_{ц} = 144 \cdot \frac{\sqrt{}}{\sqrt{2}} = 144 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 72\sqrt{2} \] 7. **Ответ:** Площадь боковой поверхности цилиндра равна \( 72\sqrt{2} \). Таким образом, мы нашли площадь боковой поверхности цилиндра, используя данные о конусе и применив геометрические формулы.