Давайте разберем ваше предложение и определим, где должны стоять запятые. Мы будем следовать правилам пунктуации русского языка, обращая внимание на вводные конструкции, сложносочиненные и сложноподчиненные предложения, а также на обстоятельственные обороты.
Вот исходное предложение:
"Открылась (1) наполовину застеклённая (2) и (3) на эту же половину занавешенная тканью (4) дверь, и (5) пройдя по выбеленному солнцем (6) паркету (7) в комнату вошёл мужчина с корзиной (8) несколько привядших за короткий путь с рынка (9) цветов."
Теперь расставим запятые:
(1) Запятая не нужна, так как это простое предложение о том, что произошло (открылась дверь).
(2) Запятая не нужна, это морфологический оборот поясняет, какая именно дверь.
(3) Запятая должна быть перед "и", так как соединяются однородные члены предложения (дверь, застеклённая наполовину и занавешенная тканью). Правильно будет: "...наполовину застеклённая, и на эту же половину занавешенная тканью дверь..."
(4) Запятая также не нужна, так как конструкция "занавешенная тканью" относится напрямую к слову "дверь".
(5) Запятая нужна перед "пройдя", так как здесь вводится обособленное обстоятельственное предложение (пройдя по выбеленному солнечным паркету). Таким образом, получается: "...дверь, и, пройдя..."
(6) Запятая не нужна, так как "выбеленному солнцем" — это приложение к "паркету", которое не требует обособления.
(7) Запятая не нужна, продолжение фразы.
(8) Запятая не нужна, здесь "с корзиной" выступает как обстоятельственный оборот, уточняющий, с чем вошел мужчина.
(9) Запятая нужна перед "несколько", так как это вторичный оборот, уточняющий "цветов". Правильно будет: "...мужчина с корзиной, несколько привядших за короткий путь с рынка, цветов."
В итоге, запятые ставятся в следующих местах:
Итоговый вариант с учетом запятых:
"Открылась наполовину застеклённая, и на эту же половину занавешенная тканью дверь, и, пройдя по выбеленному солнцем паркету, в комнату вошёл мужчина с корзиной, несколько привядших за короткий путь с рынка, цветов."
Таким образом, запятые ставятся в пунктах (3), (5) и (9).