Чтобы найти угол между двумя векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ), можно использовать формулу:
[
\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}
]
где:
- ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) — скалярное произведение векторов,
- ( |\mathbf{a}| ) — длина (модуль) вектора ( \mathbf{a} ),
- ( |\mathbf{b}| ) — длина (модуль) вектора ( \mathbf{b} ),
- ( \theta ) — угол между векторами.
Теперь давайте найдем угол между векторами ( \mathbf{a} = [-6; 5; -6] ) и ( \mathbf{b} = [6; 6; -1] ).
Шаг 1: Скалярное произведение
Сначала найдем скалярное произведение ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ):
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-6) \cdot 6 + 5 \cdot 6 + (-6) \cdot (-1)
]
Проводим расчеты:
[
= -36 + 30 + 6 = -36 + 36 = 0
]
Шаг 2: Длина векторов
Теперь найдем длины векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).
Для вектора ( \mathbf{a} = [-6; 5; -6] ):
[
|\mathbf{a}| = \sqrt{(-6)^2 + 5^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 25 + 36} = \sqrt{97}
]
Для вектора ( \mathbf{b} = [6; 6; -1] ):
[
|\mathbf{b}| = \sqrt{6^2 + 6^2 + (-1)^2} = \sqrt{36 + 36 + 1} = \sqrt{73}
]
Шаг 3: Подставляем в формулу
Теперь подставим все найденные значения в формулу для косинуса угла:
[
\cos \theta = \frac{0}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} = \frac{0}{\sqrt{97} \cdot \sqrt{73}} = 0
]
Шаг 4: Угол между векторами
Если ( \cos \theta = 0 ), это означает, что угол ( \theta ) равен ( 90^\circ ). То есть векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) перпендикулярны друг другу.
Ответ
Угол между векторами ( \mathbf{a} = [-6; 5; -6] ) и ( \mathbf{b} = [6; 6; -1] ) равен ( 90^\circ ).
