В данной задаче требуется поставить одну запятую в предложениях и обосновать выбор. Начнём с анализа каждого из предложений.
Из-за деревьев вышел охотник, вспугнув ночную птицу.
В этом предложении "вспугнув ночную птицу" является обособленным обстоятельственным оборотом, который уточняет, что произошло после выхода охотника. Поэтому ставим запятую перед оборотом.Тропинка, петляющая по полю, вывела нас к селу.
Здесь "петляющая по полю" является обособленным приложением, которое уточняет, какая именно тропинка. В этом случае нам нужны две запятые – до и после оборота, поэтому это предложение не подходит.Изредка тишина прерывалась долетавшими издали звуками.
Здесь фраза "долетавшими издали звуками" не требует обособления, так как она не является пояснительным оборотом или приложением. Поэтому запятая не ставится, и это предложение также не подходит.Не закрытая тучей луна освещала улицу.
В этом предложении "не закрытая тучей" выступает в качестве обстоятельства, описывающего состояние луны. По правилам русского языка здесь также не требуется обособление, однако, если бы предлог "не" был синонимичен со словом, требующим обособления (например, вводная конструкция), могла бы возникнуть необходимость поставить запятую. Но в данном случае это не так.
Теперь вернёмся к предложению 1, в котором правильно поставить запятую:
Из-за деревьев вышел охотник, вспугнув ночную птицу.
Таким образом, правильный ответ - первое предложение. Запятая здесь ставится, потому что участвует в выделении обособленного оборота "вспугнув ночную птицу", который поясняет, что произойдёт после выхода охотника.
Итог: Выбор - 1) Из-за деревьев вышел охотник, вспугнув ночную птицу. Запятая ставится для выделения обособленного оборота.