5. Докажите, что при любых значениях переменной значение квадратного трёхчлена: a) y2 - 10y + 26 положительно; б) -у2 + 4у - 6 отрицательно.

Чтобы доказать, что указанные квадратные трёхчлены имеют определенные знаки (положительны или отрицательны) при любых значениях переменной, важно знать, каким образом ведут себя квадратичные функции. Рассмотрим каждую из задач по отдельности. ### а) Доказать, что \(y^2 - 10y + 26\) положительно. 1. **Определим вид параболы:** Квадратный трёхчлен имеет общий вид \(a y^2 + b y + c\). В нашем случае: - \(a = 1\) - \(b = -10\) - \(c = 26\) Поскольку \(a\) положительно, это означает, что парабола, заданная этим трёхчленом, открывается вверх. 2. **Найдем координаты вершины параболы:** Вершина параболы \(y\) по формуле \(y_{\text{max/min}} = -\frac{b}{2a}\): \[ y_{\text{вершины}} = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5 \] 3. **Подставим координаты вершины в трёхчлен, чтобы найти его значение на вершине:** \[ y^2 - 10y + 26 \Rightarrow 5^2 - 10 \cdot 5 + 26 \] \[ = 25 - 50 + 26 = 1 \] Это значение положительно (\(1 > 0\)). 4. **Анализ:** Поскольку дискриминант \(D = b^2 - 4ac\): \[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 26 = 100 - 104 = -4 \] Дискриминант отрицательный, что означает, что у трёхчлена нет действительных корней, и он не пересекает ось \(y\). Таким образом, значение \(y^2 - 10y + 26\) всегда положительно для любых значений \(y\). ### б) Доказать, что \(-y^2 + 4y - 6\) отрицательно. 1. **Исследуем трёхчлен:** Запишем его в стандартном виде: - \(a = -1\) - \(b = 4\) - \(c = -6\) Здесь \(a < 0\), значит, парабола открывается вниз. 2. **Найдем координаты вершины:** \[ y_{\text{вершины}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot -1} = 2 \] 3. **Подставим значение \(y = 2\) в трёхчлен, чтобы найти его значение на вершине:** \[ -y^2 + 4y - 6 \Rightarrow -2^2 + 4 \cdot 2 - 6 \] \[ = -4 + 8 - 6 = -2 \] Это значение отрицательно (\(-2 < 0\)). 4. **Анализ:** Теперь проверим дискриминант: \[ D = 4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-6) = 16 - 24 = -8 \] Дискриминант также отрицательный, что показывает, что парабола не пересекает ось \(y\) и всегда остается ниже. ### Заключение: - \(y^2 - 10y + 26\) всегда положительно для любых \(y\) (дискриминант отрицательный, вершина положительна). - \(-y^2 + 4y - 6\) всегда отрицательно для любых \(y\) (дискриминант отрицательный, вершина отрицательна). Таким образом, утверждения доказаны.