В треугольнике ABC стороны AB и BC равны. Найдите sin A, если AB=10cm, AC =16cm
Дан треугольник \( ABC \), в котором стороны \( AB \) и \( BC \) равны. Нам нужно найти \( \sin A \), если \( AB = 10 \, \text{см} \) и \( AC = 16 \, \text{см} \).
Пусть \( AB = BC = 10 \, \text{см} \). Тогда треугольник \( ABC \) равнобедренный.
Используем теорему косинусов для нахождения угла \( A \):
Для треугольника \( ABC \): \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos A \] Подставляем известные значения: \[ 16^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos A \] \[ 256 = 100 + 100 - 200 \cdot \cos A \] \[ 256 = 200 - 200 \cdot \cos A \] \[ 200 \cdot \cos A = 200 - 256 \] \[ 200 \cdot \cos A = -56 \] \[ \cos A = -\frac{56}{200} = -\frac{14}{50} = -\frac{7}{25} \]
Находим \( \sin A \) используя основное тригонометрическое тождество:
\[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \]
Подставляем найденное значение \( \cos A \): \[ \sin^2 A + \left(-\frac{7}{25}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 A + \frac{49}{625} = 1 \] \[ \sin^2 A = 1 - \frac{49}{625} \] \[ \sin^2 A = \frac{625}{625} - \frac{49}{625} \] \[ \sin^2 A = \frac{576}{625} \]
Берем квадратный корень: \[ \sin A = \pm \frac{24}{25} \]
Так как синус угла в прямой геометрии принимается положительным: \[ \sin A = \frac{24}{25} \]
Таким образом, \( \sin A = \frac{24}{25} \).
