Давайте проанализируем каждое из предложений и определим место, где необходимо поставить запятую.
Приехав в Михайловское, Пушкин должен был как-то обустроить свой быт.
В этом предложении необходимо поставить запятую перед "Пушкин", так как вводное выражение "Приехав в Михайловское" обозначает обстоятельственное значение (где?) и выступает в роли обособляемой конструкции. Запятая отделяет вводное выражение от основной части предложения.Вид на реку Сороть, открывающийся с балкона старого дома, был изумителен.
Здесь также используются запятые для обособления деепричастного оборота "открывающийся с балкона старого дома", который уточняет, какой вид имеется в виду. Два обособленных оборота требуют запятых с обеих сторон.Выходящая окнами на юг комната стала кабинетом опального поэта.
В этом предложении нет необходимости ставить запятую, потому что "выходящая окнами на юг" является приложением, которое не требует обособления.Старый дом, напоминавший о славе предков, пробуждал в поэте воспоминания детства.
Данное предложение также включает обособленный оборот "напоминавший о славе предков", который требует запятой с обеих сторон.
Таким образом, из этих предложений первое — единственное, в котором нужно поставить одну запятую: перед "Пушкин". Эта запятая обособляет вводное слово, и она выделяет обстоятельственный оборот.