Давайте решим задачу о вписанной в прямоугольный треугольник круге, шаг за шагом.
Дано:
- Радиус круга (r) = 8,3 см
- Отрезки гипотенузы, на которые точка касания Q делит её, равны 14,9 см и 8 см.
Шаг 1: Определим длину гипотенузы
Сначала найдем длину гипотенузы (c) прямоугольного треугольника:
[
c = 14,9 + 8 = 22,9 \text{ см}
]
Шаг 2: Найдем длины катетов
Пусть a и b — длины катетов. Мы знаем, что для любого треугольника с вписанным кругом радиус r можно использовать следующее соотношение:
[
r = \frac{a + b - c}{2}
]
Теперь мы знаем радиус r и длину гипотенузы c, поэтому можем выразить a + b:
[
8,3 = \frac{a + b - 22,9}{2}
]
Умножим обе стороны на 2:
[
16,6 = a + b - 22,9
]
Переносим 22,9 на другую сторону:
[
a + b = 16,6 + 22,9 = 39,5 \text{ см}
]
Шаг 3: Находим периметр треугольника
Периметр P прямоугольного треугольника вычисляется как сумма длин всех сторон (катетов и гипотенузы):
[
P = a + b + c
]
Подставляем известные значения:
[
P = 39,5 + 22,9
]
Теперь посчитаем:
[
P = 62,4 \text{ см}
]
Ответ: Периметр треугольника составляет 62,4 см.
