классе больше 20, но меньше 35 человек. Каждый мальчик в этом классе дружит ровно с семью девочками, а каждая девочка — ровно с восемью мальчиками. Сколько учеников в классе?
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Обозначим:
- \( M \) — количество мальчиков в классе.
- \( G \) — количество девочек в классе.
Из условия задачи мы знаем, что:
- \( M + G \) — общее количество учеников в классе, которое больше 20 и меньше 35.
- Каждый мальчик дружит с 7 девочками, то есть общее количество «дружб» между мальчиками и девочками на стороне мальчиков будет \( 7M \).
- Каждая девочка дружит с 8 мальчиками, то есть общее количество «дружб» на стороне девочек будет \( 8G \).
Поскольку оба подсчета «дружб» представляют одно и то же количество связей, мы можем составить уравнение:
\[ 7M = 8G \]
Теперь выразим \( G \) через \( M \):
\[ G = \frac{7M}{8} \]
Подставим это значение \( G \) в общее количество учеников:
\[ M + G = M + \frac{7M}{8} = \frac{8M + 7M}{8} = \frac{15M}{8} \]
Для того чтобы \( M + G \) было целым числом, \( \frac{15M}{8} \) должно быть целым числом. Это значит, что \( M \) должно быть кратно 8 (так как делим на 8). Обозначим \( M = 8k \), где \( k \) — натуральное число. Подставим это в уравнение для общего количества учеников:
\[ M + G = \frac{15(8k)}{8} = 15k \]
Теперь нам нужно найти такие значения \( k \), чтобы было выполнено условие:
\[ 20 < 15k < 35 \]
Давайте найдём границы для \( k \):
Для \( 15k > 20 \): \[ k > \frac{20}{15} \approx 1.33 \implies k \geq 2 \]
Для \( 15k < 35 \): \[ k < \frac{35}{15} \approx 2.33 \implies k \leq 2 \]
Таким образом, единственным целым значением для \( k \) будет \( k = 2 \). Теперь подставим это значение обратно:
\[ M = 8k = 8 \times 2 = 16 \] \[ G = \frac{7M}{8} = \frac{7 \times 16}{8} = 14 \]
Теперь вычислим общее количество учеников:
\[ M + G = 16 + 14 = 30 \]
Таким образом, в классе 30 учеников.
Ответ: В классе 30 учеников.
