Давайте решим задачу шаг за шагом.
Обозначим:
- ( M ) — количество мальчиков в классе.
- ( G ) — количество девочек в классе.
Из условия задачи мы знаем, что:
- ( M + G ) — общее количество учеников в классе, которое больше 20 и меньше 35.
- Каждый мальчик дружит с 7 девочками, то есть общее количество «дружб» между мальчиками и девочками на стороне мальчиков будет ( 7M ).
- Каждая девочка дружит с 8 мальчиками, то есть общее количество «дружб» на стороне девочек будет ( 8G ).
Поскольку оба подсчета «дружб» представляют одно и то же количество связей, мы можем составить уравнение:
[
7M = 8G
]
Теперь выразим ( G ) через ( M ):
[
G = \frac{7M}{8}
]
Подставим это значение ( G ) в общее количество учеников:
[
M + G = M + \frac{7M}{8} = \frac{8M + 7M}{8} = \frac{15M}{8}
]
Для того чтобы ( M + G ) было целым числом, ( \frac{15M}{8} ) должно быть целым числом. Это значит, что ( M ) должно быть кратно 8 (так как делим на 8). Обозначим ( M = 8k ), где ( k ) — натуральное число. Подставим это в уравнение для общего количества учеников:
[
M + G = \frac{15(8k)}{8} = 15k
]
Теперь нам нужно найти такие значения ( k ), чтобы было выполнено условие:
[
20 < 15k < 35
]
Давайте найдём границы для ( k ):
Для ( 15k > 20 ):
[
k > \frac{20}{15} \approx 1.33 \implies k \geq 2
]
Для ( 15k < 35 ):
[
k < \frac{35}{15} \approx 2.33 \implies k \leq 2
]
Таким образом, единственным целым значением для ( k ) будет ( k = 2 ). Теперь подставим это значение обратно:
[
M = 8k = 8 \times 2 = 16
]
[
G = \frac{7M}{8} = \frac{7 \times 16}{8} = 14
]
Теперь вычислим общее количество учеников:
[
M + G = 16 + 14 = 30
]
Таким образом, в классе 30 учеников.
Ответ: В классе 30 учеников.
