Чтобы решить эту задачу, давайте сначала определим вероятности для каждой возможной исхода игры:
- Выигрыш (W): вероятность выигрыша: (P(W) = 0.3)
- Ничья (D): вероятность ничьей: (P(D) = 1 - P(W) - P(L) = 1 - 0.3 - 0.1 = 0.6) (где (P(L)) — вероятность проигрыша)
- Проигрыш (L): вероятность проигрыша: (P(L) = 0.1)
Теперь мы можем построить ряд распределения для двух игр. Каждый результат в одной игре может повлиять на результат во второй игре:
Возможные исходы и их вероятности:
2 выигрыша: (W, W)
- Вероятность: (P(W) \cdot P(W) = 0.3 \cdot 0.3 = 0.09)
- Баллы: (1 + 1 = 2)
1 выигрыш и 1 ничья: (W, D) и (D, W)
- Вероятность: (P(W) \cdot P(D) + P(D) \cdot P(W) = 0.3 \cdot 0.6 + 0.6 \cdot 0.3 = 0.18 + 0.18 = 0.36)
- Баллы: (1 + 0 = 1)
1 выигрыш и 1 проигрыш: (W, L) и (L, W)
- Вероятность: (P(W) \cdot P(L) + P(L) \cdot P(W) = 0.3 \cdot 0.1 + 0.1 \cdot 0.3 = 0.03 + 0.03 = 0.06)
- Баллы: (1 - 1 = 0)
2 ничьих: (D, D)
- Вероятность: (P(D) \cdot P(D) = 0.6 \cdot 0.6 = 0.36)
- Баллы: (0 + 0 = 0)
1 ничья и 1 проигрыш: (D, L) и (L, D)
- Вероятность: (P(D) \cdot P(L) + P(L) \cdot P(D) = 0.6 \cdot 0.1 + 0.1 \cdot 0.6 = 0.06 + 0.06 = 0.12)
- Баллы: (0 - 1 = -1)
2 проигрыша: (L, L)
- Вероятность: (P(L) \cdot P(L) = 0.1 \cdot 0.1 = 0.01)
- Баллы: (-1 - 1 = -2)
Сводная таблица распределения:
| Исход |
Вероятность |
Количество баллов |
| 2 выигрыша |
0.09 |
2 |
| 1 выигрыш, 1 ничья |
0.36 |
1 |
| 1 выигрыш, 1 проигрыш |
0.06 |
0 |
| 2 ничьих |
0.36 |
0 |
| 1 ничья, 1 проигрыш |
0.12 |
-1 |
| 2 проигрыша |
0.01 |
-2 |
Расчет математического ожидания (M)
[
M = \sum (x_i \cdot P(x_i))
]
где (x_i) — количество баллов.
[
M = (2 \cdot 0.09) + (1 \cdot 0.36) + (0 \cdot 0.06) + (0 \cdot 0.36) + (-1 \cdot 0.12) + (-2 \cdot 0.01)
]
[
M = 0.18 + 0.36 + 0 + 0 - 0.12 - 0.02 = 0.40
]
Расчет дисперсии (D)
Дисперсия вычисляется по формуле:
[
D = \sum (x_i^2 \cdot P(x_i)) - M^2
]
Сначала найдем (x_i^2 \cdot P(x_i)):
[
(2^2 \cdot 0.09) + (1^2 \cdot 0.36) + (0^2 \cdot 0.06) + (0^2 \cdot 0.36) + ((-1)^2 \cdot 0.12) + ((-2)^2 \cdot 0.01)
]
[
= (4 \cdot 0.09) + (1 \cdot 0.36) + (0) + (0) + (1 \cdot 0.12) + (4 \cdot 0.01)
]
[
= 0.36 + 0.36 + 0 + 0 + 0.12 + 0.04 = 0.88
]
Теперь подставим в формулу для дисперсии:
[
D = 0.88 - (0.40)^2 = 0.88 - 0.16 = 0.72
]
Среднее квадратичное отклонение (σ)
Среднее квадратичное отклонение вычисляется как:
[
σ = \sqrt{D}
]
[
σ = \sqrt{0.72} \approx 0.8485
]
Итоговые результаты
- Математическое ожидание (M = 0.4)
- Дисперсия (D = 0.72)
- Среднее квадратичное отклонение (σ \approx 0.8485)
Эти результаты позволяют оценить среднее количество баллов, которые может заработать Мила, а также разброс возможных значений.
