Если игрок выигрывает партию, он зарабатывает 1 балл, если проигрывает - -1 балл, а в случае ничьей- 0 баллов. Мила выигрывает с вероятностью 0,3 , а проигрывает с вероятность.…

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала определим вероятности для каждой возможной исхода игры:

1. Выигрыш (W): вероятность выигрыша: \(P(W) = 0.3\)
2. Ничья (D): вероятность ничьей: \(P(D) = 1 - P(W) - P(L) = 1 - 0.3 - 0.1 = 0.6\) (где \(P(L)\) — вероятность проигрыша)
3. Проигрыш (L): вероятность проигрыша: \(P(L) = 0.1\)

Теперь мы можем построить ряд распределения для двух игр. Каждый результат в одной игре может повлиять на результат во второй игре:

Возможные исходы и их вероятности:

1. 2 выигрыша: (W, W)

   • Вероятность: \(P(W) \cdot P(W) = 0.3 \cdot 0.3 = 0.09\)
   • Баллы: \(1 + 1 = 2\)

2. 1 выигрыш и 1 ничья: (W, D) и (D, W)

   • Вероятность: \(P(W) \cdot P(D) + P(D) \cdot P(W) = 0.3 \cdot 0.6 + 0.6 \cdot 0.3 = 0.18 + 0.18 = 0.36\)
   • Баллы: \(1 + 0 = 1\)

3. 1 выигрыш и 1 проигрыш: (W, L) и (L, W)

   • Вероятность: \(P(W) \cdot P(L) + P(L) \cdot P(W) = 0.3 \cdot 0.1 + 0.1 \cdot 0.3 = 0.03 + 0.03 = 0.06\)
   • Баллы: \(1 - 1 = 0\)

4. 2 ничьих: (D, D)

   • Вероятность: \(P(D) \cdot P(D) = 0.6 \cdot 0.6 = 0.36\)
   • Баллы: \(0 + 0 = 0\)

5. 1 ничья и 1 проигрыш: (D, L) и (L, D)

   • Вероятность: \(P(D) \cdot P(L) + P(L) \cdot P(D) = 0.6 \cdot 0.1 + 0.1 \cdot 0.6 = 0.06 + 0.06 = 0.12\)
   • Баллы: \(0 - 1 = -1\)

6. 2 проигрыша: (L, L)

   • Вероятность: \(P(L) \cdot P(L) = 0.1 \cdot 0.1 = 0.01\)
   • Баллы: \(-1 - 1 = -2\)

Сводная таблица распределения:

Расчет математического ожидания (M)

\[ M = \sum (x_i \cdot P(x_i)) \] где \(x_i\) — количество баллов.

\[ M = (2 \cdot 0.09) + (1 \cdot 0.36) + (0 \cdot 0.06) + (0 \cdot 0.36) + (-1 \cdot 0.12) + (-2 \cdot 0.01) \] \[ M = 0.18 + 0.36 + 0 + 0 - 0.12 - 0.02 = 0.40 \]

Расчет дисперсии (D)

Дисперсия вычисляется по формуле:

\[ D = \sum (x_i^2 \cdot P(x_i)) - M^2 \]

Сначала найдем \(x_i^2 \cdot P(x_i)\):

\[ (2^2 \cdot 0.09) + (1^2 \cdot 0.36) + (0^2 \cdot 0.06) + (0^2 \cdot 0.36) + ((-1)^2 \cdot 0.12) + ((-2)^2 \cdot 0.01) \] \[ = (4 \cdot 0.09) + (1 \cdot 0.36) + (0) + (0) + (1 \cdot 0.12) + (4 \cdot 0.01) \] \[ = 0.36 + 0.36 + 0 + 0 + 0.12 + 0.04 = 0.88 \]

Теперь подставим в формулу для дисперсии:

\[ D = 0.88 - (0.40)^2 = 0.88 - 0.16 = 0.72 \]

Среднее квадратичное отклонение (σ)

Среднее квадратичное отклонение вычисляется как:

\[ σ = \sqrt{D} \] \[ σ = \sqrt{0.72} \approx 0.8485 \]

Итоговые результаты

• Математическое ожидание \(M = 0.4\)
• Дисперсия \(D = 0.72\)
• Среднее квадратичное отклонение \(σ \approx 0.8485\)

Эти результаты позволяют оценить среднее количество баллов, которые может заработать Мила, а также разброс возможных значений.