Если игрок выигрывает партию, он зарабатывает 1 балл, если проигрывает - -1 балл, а в случае ничьей- 0 баллов. Мила выигрывает с вероятностью 0,3 , а проигрывает с вероятность. 0,1. Постройте ряд распределения и вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение числа очков, которые может набрать Мила в двух партиях
Для решения задачи о распределении вероятностей и вычисления математического ожидания, дисперсии и среднеквадратичного отклонения, начнем с определения всех необходимых компонентов.
1. **Вероятности выигрыша, проигрыша и ничьей:**
- Вероятность выигрыша (W): \( P(W) = 0,3 \)
- Вероятность проигрыша (L): \( P(L) = 0,1 \)
- Вероятность ничьей (D): \( P(D) = 1 - P(W) - P(L) = 1 - 0,3 - 0,1 = 0,6 \)
2. **Определение очков для каждого результата:**
- Выигрыш: \( +1 \) балл
- Проигрыш: \( -1 \) балл
- Ничья: \( 0 \) баллов
3. **Построение ряда распределения:**
Рассмотрим все возможные исходы для двух партий. Каждый исход можно представить в виде пары, где первый элемент соответствует результату первой партии, а второй - второй партии.
Возможные комбинации и их вероятности:
- 2 выигрыша (1 и 1): \( (1, 1) \) с вероятностью \( 0,3 \cdot 0,3 = 0,09 \)
- 1 выигрыш и 1 ничья (1 и 0): \( (1, 0) \) с вероятностью \( 0,3 \cdot 0,6 = 0,18 \)
- 1 ничья и 1 выигрыш (0 и 1): \( (0, 1) \) с вероятностью \( 0,6 \cdot 0,3 = 0,18 \)
- 1 проигрыш и 1 ничья (-1 и 0): \( (-1, 0) \) с вероятностью \( 0,1 \cdot 0,6 = 0,06 \)
- 1 ничья и 1 проигрыш (0 и -1): \( (0, -1) \) с вероятностью \( 0,6 \cdot 0,1 = 0,06 \)
- 1 проигрыш и 1 выигрыш (-1 и 1): \( (-1, 1) \) с вероятностью \( 0,1 \cdot 0,3 = 0,03 \)
- 2 ничьих (0 и 0): \( (0, 0) \) с вероятностью \( 0,6 \cdot 0,6 = 0,36 \)
- 1 выигрыш и 1 проигрыш (1 и -1): \( (1, -1) \) с вероятностью \( 0,3 \cdot 0,1 = 0,03 \)
- 2 проигрыша (-1 и -1): \( (-1, -1) \) с вероятностью \( 0,1 \cdot 0,1 = 0,01 \)
Теперь подсчитаем суммарные очки для каждого исхода:
- (2, 0, 0, -1, -1, 0, 0, 0, -2)
Суммируем вероятности для одинаковых суммарных очков:
- 2: \( 0,09 \)
- 1: \( 0,18 + 0,18 = 0,36 \)
- 0: \( 0,36 + 0,06 + 0,06 + 0,03 = 0,51 \)
- -1: \( 0,03 \)
- -2: \( 0,01 \)
Итак, ряд распределения:
- \( X = 2: P(X) = 0,09 \)
- \( X = 1: P(X) = 0,36 \)
- \( X = 0: P(X) = 0,51 \)
- \( X = -1: P(X) = 0,03 \)
- \( X = -2: P(X) = 0,01 \)
4. **Вычисление математического ожидания (E[X]):**
\[
E[X] = 2 \cdot 0,09 + 1 \cdot 0,36 + 0 \cdot 0,51 - 1 \cdot 0,03 - 2 \cdot 0,01
\]
\[
E[X] = 0,18 + 0,36 + 0 - 0,03 - 0,02 = 0,49
\]
5. **Вычисление дисперсии (D[X]):**
\[
D[X] = E[X^2] - (E[X])^2
\]
Сначала найдем \( E[X^2] \):
\[
E[X^2] = 2^2 \cdot 0,09 + 1^2 \cdot 0,36 + 0^2 \cdot 0,51 + (-1)^2 \cdot 0,03 + (-2)^2 \cdot 0,01
\]
\[
E[X^2] = 4 \cdot 0,09 + 1 \cdot 0,36 + 0 + 1 \cdot 0,03 + 4 \cdot 0,01
\]
\[
E[X^2] = 0,36 + 0,36 + 0 + 0,03 + 0,04 = 0,79
\]
Теперь подставляем в формулу:
\[
D[X] = 0,79 - (0,49)^2 = 0,79 - 0,2401 = 0,5499
\]
6. **Среднеквадратичное отклонение (σ):**
\[
\sigma = \sqrt{D[X]} = \sqrt{0,5499} \approx 0,7415
\]
Таким образом, мы получили:
- **Математическое ожидание:** \( E[X] \approx 0,49 \)
- **Дисперсия:** \( D[X] \approx 0,5499 \)
- **Среднеквадратичное отклонение:** \( \sigma \approx 0,7415 \)
Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, обращайтесь!
