Для решения задачи воспользуемся соотношениями между тригонометрическими функциями в прямоугольном треугольнике.
Дано, что косинус острого угла ( \angle M ) равен ( \cos \angle M = \frac{3}{5} ).
Шаг 1: Понимание соотношений
Для любого угла ( \theta ) в прямоугольном треугольнике справедливы следующие соотношения:
- ( \cos \theta = \frac{\text{катет, прилежащий к углу } \theta}{\text{гипотенуза}} )
- ( \sin \theta = \frac{\text{катет, противолежащий углу } \theta}{\text{гипотенуза}} )
Шаг 2: Использование теоремы Пифагора
Если обозначить:
- прилежащий катет как ( a ),
- противолежащий катет как ( b ),
- гипотенузу как ( c ),
то в нашем случае имеем:
[
\cos \angle M = \frac{a}{c} = \frac{3}{5}.
]
Это означает, что ( a = 3k ) и ( c = 5k ) для некоторого положительного числа ( k ).
Теперь мы можем найти противолежащий катет ( b ) с помощью теоремы Пифагора:
[
c^2 = a^2 + b^2.
]
Подставим известные значения:
[
(5k)^2 = (3k)^2 + b^2.
]
Это упрощается до:
[
25k^2 = 9k^2 + b^2.
]
Вынесем ( b^2 ) на одну сторону:
[
b^2 = 25k^2 - 9k^2 = 16k^2.
]
Следовательно, ( b = 4k ).
Шаг 3: Находим синус угла
Теперь, имея значения катетов, можем найти синус угла ( M ):
[
\sin \angle M = \frac{b}{c} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}.
]
Ответ
Таким образом, мы получили результат:
[
\sin \angle M = \frac{4}{5}.
]
Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется другое объяснение, дайте знать!
