Турист заболел на отдыхе болезнью, которая длится 21 день. в первый день заболевший турист заразил пятерых человек и начиная со следующего дня ежедневно турист и заболевшие люди…

Давайте решим задачу о распространении болезни с помощью геометрической прогрессии.

Условия задачи:

1. Турист болеет 21 день.
2. В первый день (день 1) заболевший турист заражает 5 человек.
3. Каждый последующий день и заболевшие, и turist продолжают заражать по 5 новых человек.

Построим решение:

Пусть \( a_n \) — количество заболевших людей в конце \( n \) дня.

• В день 1: турист заразил 5 человек, всего: \( 1 + 5 = 6 \) (1 — это сам турист)
• В день 2: 6 заболевших (турист + зараженные) продолжают заражать 5 новых человек. Всего: \( 6 + 6 \times 5 = 6 + 30 = 36 \)
• В день 3: 36 заболевших снова заражают по 5 человек. Всего: \( 36 + 36 \times 5 = 36 + 180 = 216 \)
• … и так далее.

Таким образом, на каждом шаге общее количество заражённых будет увеличиваться.

Однако, чтобы увидеть зависимость и выявить закономерность, удобно использовать формулу для n-го дня. Заметим:

Каждый день количество заболевших людей, которые заражают, удваивается. Мы можем вывести последовательность:

• День 1: \( 6 \) заболевших (1 турист и 5 зараженных).
• День 2: \( 6 + 5 = 6 \times 6 = 36 \)
• День 3: \( 36 + 30 = 6 \times 36 = 216 \)
• День 4: \( 216 + 180 = 6 \times 216 = 1296 \)

Анализ:

Здесь можно заметить, что количество заболевших растет по формуле: \( a_n = 6 \cdot 6^{(n-1)} \).

Теперь выясним, на каком \( n \) эта формула даст \( 1296 \): \[ 1296 = 6 \cdot 6^{(n-1)} \]

Делим обе стороны уравнения на 6: \[ 216 = 6^{(n-1)} \] Теперь заметим, что \( 216 \) можно представить как \( 6^3 \): \[ 216 = 6^3 \] Тогда получаем: \[ 6^{(n-1)} = 6^3 \] Следовательно, приравняем показатели: \[ n - 1 = 3 \] \[ n = 4 \]

Ответ:

Таким образом, в день 4 заболевания будет всего 1296 заболевших.