Давайте решим задачу о распространении болезни с помощью геометрической прогрессии.
Условия задачи:
- Турист болеет 21 день.
- В первый день (день 1) заболевший турист заражает 5 человек.
- Каждый последующий день и заболевшие, и turist продолжают заражать по 5 новых человек.
Построим решение:
Пусть ( a_n ) — количество заболевших людей в конце ( n ) дня.
- В день 1: турист заразил 5 человек, всего: ( 1 + 5 = 6 ) (1 — это сам турист)
- В день 2: 6 заболевших (турист + зараженные) продолжают заражать 5 новых человек. Всего: ( 6 + 6 \times 5 = 6 + 30 = 36 )
- В день 3: 36 заболевших снова заражают по 5 человек. Всего: ( 36 + 36 \times 5 = 36 + 180 = 216 )
- … и так далее.
Таким образом, на каждом шаге общее количество заражённых будет увеличиваться.
Однако, чтобы увидеть зависимость и выявить закономерность, удобно использовать формулу для n-го дня. Заметим:
Каждый день количество заболевших людей, которые заражают, удваивается. Мы можем вывести последовательность:
- День 1: ( 6 ) заболевших (1 турист и 5 зараженных).
- День 2: ( 6 + 5 = 6 \times 6 = 36 )
- День 3: ( 36 + 30 = 6 \times 36 = 216 )
- День 4: ( 216 + 180 = 6 \times 216 = 1296 )
Анализ:
Здесь можно заметить, что количество заболевших растет по формуле: ( a_n = 6 \cdot 6^{(n-1)} ).
Теперь выясним, на каком ( n ) эта формула даст ( 1296 ):
[
1296 = 6 \cdot 6^{(n-1)}
]
Делим обе стороны уравнения на 6:
[
216 = 6^{(n-1)}
]
Теперь заметим, что ( 216 ) можно представить как ( 6^3 ):
[
216 = 6^3
]
Тогда получаем:
[
6^{(n-1)} = 6^3
]
Следовательно, приравняем показатели:
[
n - 1 = 3
]
[
n = 4
]
Ответ:
Таким образом, в день 4 заболевания будет всего 1296 заболевших.
