В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 4 см, N - середина AC. Если угол между прямой NB1 и плоскостью ABC равен 60, то площадь сечения, проходящего…

Чтобы найти площадь сечения, проходящего через точки \(N\), \(B\) и \(B_1\), в правильной треугольной призме, давайте рассмотрим детали:

Шаг 1: Определение основных элементов

1. Правильная треугольная призма:

   • Основания \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) являются равносторонними треугольниками со стороной 4 см.
   • Высота призмы перпендикулярна плоскостям оснований.

2. Точка \(N\):

   • \(N\) — середина отрезка \(AC\), значит, \(AN = NC = 2\) см.

Шаг 2: Определение плоскости сечения

Сечение проходит через точки \(N\), \(B\), и \(B_1\). Мы можем обозначить плоскость сечения как \(NB_1B\).

Шаг 3: Рассмотрение угла и высоты призмы

1. Угол между прямой \(NB_1\) и плоскостью \(ABC\) равен \(60^\circ\).

2. Высота призмы:

   • Углы равностороннего треугольника равны \(60^\circ\). Например, при опущении высоты из вершины на основание длина этой высоты \(h\) в одном из треугольников вычисляется как: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 2\sqrt{3} \, \text{см} \]

3. Высота призмы \(BB_1\) может быть найдена через угол:

   • Принимая \(NB_1\) как наклон прямой, пусть \(h'\) высота призмы: \[ \tan 60^\circ = \sqrt{3} = \frac{h'}{NB} = \frac{h'}{\sqrt{3} \cdot 2} \] \[ NB = \sqrt{3} \cdot 2 \,\text{(так как треугольник $NAB$ равнобедренный)} \]

Шаг 4: Определение площади треугольника

• Треугольник \(NB_1B\): Площадь \(\Delta\) этого треугольника можно выразить через свои высоту и основание:

  \[ \Delta = \frac{1}{2} \cdot NB \cdot h' \cdot \sin 60^\circ \]

Так, \(NB = 2\) и так как высота проводится к стороне основания длиной \(2\sqrt{3}\):

\[ \Delta = \frac{1}{2} \cdot (2) \cdot (2\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \frac{3}{2} = 3 \, \text{см}^2 \]

Результат

Площадь сечения, проходящего через точки \(N\), \(B\) и \(B_1\), равна \(3 \, \text{см}^2\).