Площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда равна 75 см²; стороны основания равны 7 см и 24 см найти объем

Чтобы решить задачу и найти объем прямоугольного параллелепипеда, воспользуемся следующими данными: площадь диагонального сечения равна 75 см², а стороны основания равны 7 см и 24 см. ### Шаг 1: Понять, что такое диагональное сечение Диагональное сечение прямоугольного параллелепипеда — это плоскость, проходящая через две противоположные грани параллелепипеда таким образом, что она пересекает его в двух точках, находящихся на разных гранях. Площадь такого сечения можно найти, используя формулу: \[ S = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2} \] где: - \( S \) — площадь диагонального сечения, - \( a \) и \( b \) — стороны основания, - \( h \) — высота параллелепипеда. ### Шаг 2: Записать известные данные В нашем случае: - \( S = 75 \, \text{см}^2 \) - \( a = 7 \, \text{см} \) - \( b = 24 \, \text{см} \) ### Шаг 3: Подставить известные данные в формулу Подставляем значения в формулу для площади сечения: \[ 75 = \sqrt{7^2 + 24^2 + h^2} \] ### Шаг 4: Вычислить значения Сначала вычислим \( 7^2 \) и \( 24^2 \): \[ 7^2 = 49 \] \[ 24^2 = 576 \] Теперь сложим эти значения: \[ 49 + 576 = 625 \] Теперь подставим это в формулу: \[ 75 = \sqrt{625 + h^2} \] ### Шаг 5: Избавиться от квадратного корня Возведем обе стороны уравнения в квадрат: \[ 75^2 = 625 + h^2 \] Это даёт: \[ 5625 = 625 + h^2 \] Теперь вычислим \( h^2 \): \[ h^2 = 5625 - 625 \] \[ h^2 = 5000 \] ### Шаг 6: Найти высоту \( h \) Теперь извлекаем квадратный корень из \( h^2 \): \[ h = \sqrt{5000} = 100\sqrt{5} \approx 70.71 \, \text{см} \] ### Шаг 7: Найти объем параллелепипеда Объем \( V \) прямоугольного параллелепипеда рассчитывается по формуле: \[ V = a \cdot b \cdot h \] Теперь подставим наши значения: \[ V = 7 \cdot 24 \cdot 100\sqrt{5} \] ### Шаг 8: Упростить Сначала умножим 7 и 24: \[ 7 \cdot 24 = 168 \] Теперь полное выражение для объема: \[ V = 168 \cdot 100\sqrt{5} = 16800\sqrt{5} \approx 37553.36 \, \text{см}^3 \] ### Ответ Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда составляет \( 16800\sqrt{5} \approx 37553.36 \, \text{см}^3 \).