Площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда равна 75 см²; стороны основания равны 7 см и 24 см найти объем

Чтобы решить задачу и найти объем прямоугольного параллелепипеда, воспользуемся следующими данными: площадь диагонального сечения равна 75 см², а стороны основания равны 7 см и 24 см.

Шаг 1: Понять, что такое диагональное сечение

Диагональное сечение прямоугольного параллелепипеда — это плоскость, проходящая через две противоположные грани параллелепипеда таким образом, что она пересекает его в двух точках, находящихся на разных гранях. Площадь такого сечения можно найти, используя формулу:

\[ S = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2} \]

где:

• \( S \) — площадь диагонального сечения,
• \( a \) и \( b \) — стороны основания,
• \( h \) — высота параллелепипеда.

Шаг 2: Записать известные данные

В нашем случае:

• \( S = 75 \, \text{см}^2 \)
• \( a = 7 \, \text{см} \)
• \( b = 24 \, \text{см} \)

Шаг 3: Подставить известные данные в формулу

Подставляем значения в формулу для площади сечения:

\[ 75 = \sqrt{7^2 + 24^2 + h^2} \]

Шаг 4: Вычислить значения

Сначала вычислим \( 7^2 \) и \( 24^2 \):

\[ 7^2 = 49 \] \[ 24^2 = 576 \]

Теперь сложим эти значения:

\[ 49 + 576 = 625 \]

Теперь подставим это в формулу:

\[ 75 = \sqrt{625 + h^2} \]

Шаг 5: Избавиться от квадратного корня

Возведем обе стороны уравнения в квадрат:

\[ 75^2 = 625 + h^2 \]

Это даёт:

\[ 5625 = 625 + h^2 \]

Теперь вычислим \( h^2 \):

\[ h^2 = 5625 - 625 \] \[ h^2 = 5000 \]

Шаг 6: Найти высоту \( h \)

Теперь извлекаем квадратный корень из \( h^2 \):

\[ h = \sqrt{5000} = 100\sqrt{5} \approx 70.71 \, \text{см} \]

Шаг 7: Найти объем параллелепипеда

Объем \( V \) прямоугольного параллелепипеда рассчитывается по формуле:

\[ V = a \cdot b \cdot h \]

Теперь подставим наши значения:

\[ V = 7 \cdot 24 \cdot 100\sqrt{5} \]

Шаг 8: Упростить

Сначала умножим 7 и 24:

\[ 7 \cdot 24 = 168 \]

Теперь полное выражение для объема:

\[ V = 168 \cdot 100\sqrt{5} = 16800\sqrt{5} \approx 37553.36 \, \text{см}^3 \]

Ответ

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда составляет \( 16800\sqrt{5} \approx 37553.36 \, \text{см}^3 \).