Найди n n , если C n 9 = 55 C n 9 =55 .
Для решения уравнения \( C_{n}^{9} = 55 \) начнем с определения, что такое биномиальный коэффициент. Биномиальный коэффициент \( C_{n}^{k} \) (читается как "n по k") рассчитывается следующим образом:
\[ C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!} \]
где \( n! \) — факториал числа \( n \) (то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \)), и \( k! \) — факториал числа \( k \).
В нашем случае:
\[ C_{n}^{9} = \frac{n!}{9!(n - 9)!} = 55 \]
Теперь, зная, что \( 9! = 362880 \), можем переписать уравнение:
\[ \frac{n!}{362880(n - 9)!} = 55 \]
Умножим обе стороны уравнения на \( 362880(n - 9)! \):
\[ n! = 55 \times 362880 \times (n - 9)! \]
Теперь давайте посчитаем \( 55 \times 362880 \):
\[ 55 \times 362880 = 19958400 \]
Таким образом, у нас есть:
\[ n! = 19958400 \times (n - 9)! \]
Теперь воспользуемся свойством факториалов:
\[ n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times ... \times (n - 9) \times (n - 9)! \]
Подставим это в уравнение:
\[ n \times (n - 1) \times (n - 2) \times (n - 3) \times (n - 4) \times (n - 5) \times (n - 6) \times (n - 7) \times (n - 8) \times (n - 9)! = 19958400 \times (n - 9)! \]
Теперь можем сократить \( (n - 9)! \) с обеих сторон:
\[ n \times (n - 1) \times (n - 2) \times (n - 3) \times (n - 4) \times (n - 5) \times (n - 6) \times (n - 7) \times (n - 8) = 19958400 \]
Итак, нам нужно найти такие \( n \), что произведение \( n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8) = 19958400 \).
Теперь давайте подберем целые значения \( n \):
Пробуем \( n = 14 \):
\[ 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 14! / 5! = 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 19958400 \]
Это значение подходит! Таким образом, мы нашли, что:
\[ n = 14 \]
Ответ: \( n = 14 \).
