Найди  n n, если  C n 9 = 55 C n 9 ​ =55.

Для решения уравнения \( C_{n}^{9} = 55 \) начнем с определения, что такое биномиальный коэффициент. Биномиальный коэффициент \( C_{n}^{k} \) (читается как "n по k") рассчитывается следующим образом: \[ C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!} \] где \( n! \) — факториал числа \( n \) (то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \)), и \( k! \) — факториал числа \( k \). В нашем случае: \[ C_{n}^{9} = \frac{n!}{9!(n - 9)!} = 55 \] Теперь, зная, что \( 9! = 362880 \), можем переписать уравнение: \[ \frac{n!}{362880(n - 9)!} = 55 \] Умножим обе стороны уравнения на \( 362880(n - 9)! \): \[ n! = 55 \times 362880 \times (n - 9)! \] Теперь давайте посчитаем \( 55 \times 362880 \): \[ 55 \times 362880 = 19958400 \] Таким образом, у нас есть: \[ n! = 19958400 \times (n - 9)! \] Теперь воспользуемся свойством факториалов: \[ n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times ... \times (n - 9) \times (n - 9)! \] Подставим это в уравнение: \[ n \times (n - 1) \times (n - 2) \times (n - 3) \times (n - 4) \times (n - 5) \times (n - 6) \times (n - 7) \times (n - 8) \times (n - 9)! = 19958400 \times (n - 9)! \] Теперь можем сократить \( (n - 9)! \) с обеих сторон: \[ n \times (n - 1) \times (n - 2) \times (n - 3) \times (n - 4) \times (n - 5) \times (n - 6) \times (n - 7) \times (n - 8) = 19958400 \] Итак, нам нужно найти такие \( n \), что произведение \( n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8) = 19958400 \). Теперь давайте подберем целые значения \( n \): Пробуем \( n = 14 \): \[ 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 14! / 5! = 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 19958400 \] Это значение подходит! Таким образом, мы нашли, что: \[ n = 14 \] Ответ: \( n = 14 \).