Для решения задачи нам необходимо найти значение (\cos K) в прямоугольном треугольнике (MNK), где угол (N) равен (90^\circ), длина (NK=7), а длина (MK=25).
Шаг 1: Определение сторон треугольника
В прямоугольном треугольнике гипотенуза будет стороной, противоположной прямому углу, а катеты — сторонами, прилегающими к прямому углу. В нашем случае:
- Гипотенуза (MK = 25).
- Один из катетов (NK = 7).
- Другой катет (MN) нам неизвестен.
Шаг 2: Использование теоремы Пифагора
Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:
[
MK^2 = MN^2 + NK^2
]
Подставим известные значения:
[
25^2 = MN^2 + 7^2
]
[
625 = MN^2 + 49
]
Теперь решим это уравнение для (MN):
[
MN^2 = 625 - 49
]
[
MN^2 = 576
]
[
MN = \sqrt{576} = 24
]
Теперь мы знаем все стороны треугольника:
- (MN = 24)
- (NK = 7)
- (MK = 25)
Шаг 3: Нахождение (\cos K)
Косинус угла (K) в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины прилежащего катета (в данном случае (MN)) к длине гипотенузы ((MK)):
[
\cos K = \frac{MN}{MK}
]
Подставляем найденные значения:
[
\cos K = \frac{24}{25}
]
Ответ
Таким образом, значение (\cos K) равно (\frac{24}{25}).
