Найдите 𝑝 (𝑏)/ 𝑝 (1/ 𝑏) , если 𝑝 (𝑏) = (𝑏 − 10/ 𝑏 )(−10𝑏 + 1/ 𝑏 ), при 𝑏 ≠ 0
Чтобы решить задачу, найдем значение в виде коэффициента, как указано. Начнем с формулы, где дано \( p(b) = \left(b - \frac{10}{b}\right)\left(-10b + \frac{1}{b}\right) \).
Шаг 1: Вычислим \( p(b) \)
Прежде всего разберемся с выражением \( p(b) \). Раскроем скобки:
\[ p(b) = \left(b - \frac{10}{b}\right)\left(-10b + \frac{1}{b}\right) \]
Произведем умножение:
\[ p(b) = b \cdot (-10b) + b \cdot \frac{1}{b} - \frac{10}{b} \cdot (-10b) - \frac{10}{b} \cdot \frac{1}{b} \]
Теперь вычислим каждое из произведений:
- \( b \cdot (-10b) = -10b^2 \)
- \( b \cdot \frac{1}{b} = 1 \)
- \( -\frac{10}{b} \cdot (-10b) = 100 \)
- \( -\frac{10}{b} \cdot \frac{1}{b} = -\frac{10}{b^2} \)
Теперь соберем все вместе:
\[ p(b) = -10b^2 + 1 + 100 - \frac{10}{b^2} \]
Это дает:
\[ p(b) = -10b^2 + 101 - \frac{10}{b^2} \]
Шаг 2: Найдем \( p\left(\frac{1}{b}\right) \)
Теперь найдем \( p\left(\frac{1}{b}\right) \). Подставим \( \frac{1}{b} \) в функцию:
\[ p\left(\frac{1}{b}\right) = \left(\frac{1}{b} - 10b\right)\left(-10 \cdot \frac{1}{b} + b\right) \]
Раскроем скобки:
\[ p\left(\frac{1}{b}\right) = \left(\frac{1}{b} - 10b\right)\left(b - \frac{10}{b}\right) \]
Теперь, по аналогии с предыдущим шагом, вычислим произведение:
- \( \frac{1}{b} \cdot b = 1 \)
- \( \frac{1}{b} \cdot \left(-\frac{10}{b}\right) = -\frac{10}{b^2} \)
- \( -10b \cdot b = -10b^2 \)
- \( -10b \cdot -\frac{10}{b} = 100 \)
Соберем все вместе:
\[ p\left(\frac{1}{b}\right) = 1 - \frac{10}{b^2} - 10b^2 + 100 \]
Это также дает:
\[ p\left(\frac{1}{b}\right) = -10b^2 + 101 - \frac{10}{b^2} \]
Шаг 3: Найдем отношение \( \frac{p(b)}{p\left(\frac{1}{b}\right)} \)
Теперь мы видим, что:
\[ p(b) = -10b^2 + 101 - \frac{10}{b^2} \] \[ p\left(\frac{1}{b}\right) = -10b^2 + 101 - \frac{10}{b^2} \]
Таким образом:
\[ \frac{p(b)}{p\left(\frac{1}{b}\right)} = \frac{-10b^2 + 101 - \frac{10}{b^2}}{-10b^2 + 101 - \frac{10}{b^2}} = 1 \]
Ответ:
Следовательно, \( \frac{p(b)}{p\left(\frac{1}{b}\right)} = 1 \).
