Меньшая окружность касается большей окружности и ее диаметр АВ. Найдите площадь закрашенной фигуры, если окружность касается диаметра в центре А и АВ=4

Чтобы решить задачу, давайте проанализируем условия. У нас есть большая окружность и меньшая окружность, а также диаметр этой большой окружности обозначен как \( AB \). Длина диаметра \( AB \) равна 4.

Шаг 1: Найти радиус большей окружности

Радиус окружности — это половина диаметра. Поэтому радиус R большей окружности будет: \[ R = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Шаг 2: Понять расположение окружностей

Теперь у нас есть большая окружность радиуса 2. Меньшая окружность касается большей окружности и диаметра \( AB \) (в центре A).

Поскольку меньшая окружность касается диаметра и расположена в точке A, это значит, что её центр будет находиться на вертикальной линии, проходящей через точку A, и радиус меньшей окружности будет равен расстоянию от точки A до той точки, где меньшая окружность касается диаметра.

Шаг 3: Определить радиус меньшей окружности

Обозначим радиус меньшей окружности как \( r \). Меньшая окружность касается внутренней стороны большей окружности и касается большого диаметра в точке A. Таким образом, ее радиус будет равен расстоянию от точки A до точки касания на диаметре (который равен \( r \)).

Поскольку меньшая окружность не может превышать радиус большей окружности, у нас есть: \[ R - r = r \] Отсюда: \[ 2 - r = r \implies 2 = 2r \implies r = 1 \]

Шаг 4: Найти площади окружностей

Теперь мы можем вычислить площади обеих окружностей:

• Площадь большой окружности (\( S_{б} \)): \[ S_{б} = \pi R^2 = \pi (2^2) = 4\pi \]
• Площадь меньшей окружности (\( S_{м} \)): \[ S_{м} = \pi r^2 = \pi (1^2) = \pi \]

Шаг 5: Найти площадь закрашенной фигуры

Закрашенная фигура — это площадь большой окружности минус площадь меньшей окружности: \[ S_{закрашенной} = S_{б} - S_{м} = 4\pi - \pi = 3\pi \]

Ответ:

Площадь закрашенной фигуры составляет \( 3\pi \) квадратных единиц.