Чтобы решить задачу, давайте проанализируем условия. У нас есть большая окружность и меньшая окружность, а также диаметр этой большой окружности обозначен как ( AB ). Длина диаметра ( AB ) равна 4.
Шаг 1: Найти радиус большей окружности
Радиус окружности — это половина диаметра. Поэтому радиус R большей окружности будет:
[
R = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2
]
Шаг 2: Понять расположение окружностей
Теперь у нас есть большая окружность радиуса 2. Меньшая окружность касается большей окружности и диаметра ( AB ) (в центре A).
Поскольку меньшая окружность касается диаметра и расположена в точке A, это значит, что её центр будет находиться на вертикальной линии, проходящей через точку A, и радиус меньшей окружности будет равен расстоянию от точки A до той точки, где меньшая окружность касается диаметра.
Шаг 3: Определить радиус меньшей окружности
Обозначим радиус меньшей окружности как ( r ). Меньшая окружность касается внутренней стороны большей окружности и касается большого диаметра в точке A. Таким образом, ее радиус будет равен расстоянию от точки A до точки касания на диаметре (который равен ( r )).
Поскольку меньшая окружность не может превышать радиус большей окружности, у нас есть:
[
R - r = r
]
Отсюда:
[
2 - r = r \implies 2 = 2r \implies r = 1
]
Шаг 4: Найти площади окружностей
Теперь мы можем вычислить площади обеих окружностей:
- Площадь большой окружности (( S_{б} )):
[
S_{б} = \pi R^2 = \pi (2^2) = 4\pi
]
- Площадь меньшей окружности (( S_{м} )):
[
S_{м} = \pi r^2 = \pi (1^2) = \pi
]
Шаг 5: Найти площадь закрашенной фигуры
Закрашенная фигура — это площадь большой окружности минус площадь меньшей окружности:
[
S_{закрашенной} = S_{б} - S_{м} = 4\pi - \pi = 3\pi
]
Ответ:
Площадь закрашенной фигуры составляет ( 3\pi ) квадратных единиц.
