Угол между сторонами правильного многоугольника равен 135∘. Около многоугольника описана окружность. Определи градусную меру дуги окружности между соседними вершинами…

Чтобы решить задачу, сначала вспомним, что такое углы и правильный многоугольник.

Шаг 1: Определение угла многоугольника.

Угол между сторонами правильного многоугольника — это угол, который образуется при соединении двух соседних вершин многоугольника. В нашем случае этот угол равен 135°.

Шаг 2: Формула для расчета числа сторон многоугольника.

Для правильного многоугольника с \( n \) сторонами углы можно вычислить по формуле: \[ \text{Внутренний угол} = \frac{(n-2) \cdot 180°}{n} \]

Зная, что внутренний угол равен 135°, мы можем составить уравнение: \[ \frac{(n-2) \cdot 180°}{n} = 135° \]

Шаг 3: Решим уравнение для нахождения \( n \).

Умножим обе стороны на \( n \): \[ (n-2) \cdot 180° = 135° \cdot n \] Раскроем скобки: \[ 180n - 360 = 135n \] Теперь соберём все термины, содержащие \( n \), с одной стороны: \[ 180n - 135n = 360 \] \[ 45n = 360 \] Теперь выразим \( n \): \[ n = \frac{360}{45} = 8 \]

Таким образом, многоугольник — это восьмиугольник.

Шаг 4: Определим градусную меру дуги окружности между соседними вершинами.

Теперь, когда мы знаем, что у нас 8 сторон, можем найти дугу, которая находится между соседними вершинами. Полный круг равен \( 360° \). Мы делим этот угол на количество сторон многоугольника: \[ \text{Дуга между соседними вершинами} = \frac{360°}{n} = \frac{360°}{8} = 45° \]

Ответ:

Градусная мера дуги окружности между соседними вершинами восьмиугольника равна 45°.