Задача 276

Давайте разберём задачу 276 из книги на фото.

Условие задачи:

"Докажите, что радиус окружности, вписанной в любой вписанный четырёхугольник, равен половине суммы двух его сторон, разделённой на его полупериметр."

Решение:

1. Определение терминов:

   • Вписанный четырёхугольник: Это четырёхугольник, который имеет вписанную окружность. Эта окружность касается всех сторон этого четырёхугольника.
   • Полупериметр: Это сумма всех сторон четырёхугольника, делённая на два.

2. Обозначения:

   • Пусть стороны четырёхугольника обозначены как \( a, b, c, \) и \( d \).
   • Радиус вписанной окружности обозначим как \( r \).

3. Формула для полупериметра: \[ s = \frac{a + b + c + d}{2} \]

4. Докажем утверждение:

   • Вписанный четырёхугольник имеет свойство, что сумма длин противоположных сторон равна, то есть \( a + c = b + d \).
   • Из этого следует, что половина суммы противоположных сторон равна полупериметру: \[ \frac{a + c}{2} = s - \frac{b + d}{2} = \frac{b + d}{2} \]

5. Вывод:

   • Из свойства вписанного четырёхугольника следует, что мы можем выразить радиус вписанной окружности таким образом: \[ r = \frac{a + c}{2s} = \frac{b + d}{2s} \]
   • То есть, это и есть половина суммы двух его противоположных сторон, выраженная через полупериметр.

Заключение:

Таким образом, радиус вписанной окружности \( r \) действительно равен половине суммы любых двух противоположных сторон, делённой на полупериметр четырёхугольника. Это завершающий шаг доказательства.