Задача 276

Давайте разберём задачу 276 из книги на фото. **Условие задачи:** "Докажите, что радиус окружности, вписанной в любой вписанный четырёхугольник, равен половине суммы двух его сторон, разделённой на его полупериметр." **Решение:** 1. **Определение терминов:** - **Вписанный четырёхугольник:** Это четырёхугольник, который имеет вписанную окружность. Эта окружность касается всех сторон этого четырёхугольника. - **Полупериметр:** Это сумма всех сторон четырёхугольника, делённая на два. 2. **Обозначения:** - Пусть стороны четырёхугольника обозначены как \( a, b, c, \) и \( d \). - Радиус вписанной окружности обозначим как \( r \). 3. **Формула для полупериметра:** \[ s = \frac{a + b + c + d}{2} \] 4. **Докажем утверждение:** - Вписанный четырёхугольник имеет свойство, что сумма длин противоположных сторон равна, то есть \( a + c = b + d \). - Из этого следует, что половина суммы противоположных сторон равна полупериметру: \[ \frac{a + c}{2} = s - \frac{b + d}{2} = \frac{b + d}{2} \] 5. **Вывод:** - Из свойства вписанного четырёхугольника следует, что мы можем выразить радиус вписанной окружности таким образом: \[ r = \frac{a + c}{2s} = \frac{b + d}{2s} \] - То есть, это и есть половина суммы двух его противоположных сторон, выраженная через полупериметр. **Заключение:** Таким образом, радиус вписанной окружности \( r \) действительно равен половине суммы любых двух противоположных сторон, делённой на полупериметр четырёхугольника. Это завершающий шаг доказательства.