Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна 72–√ . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Рассмотрим задачу о цилиндре и конусе, у которых общие основание и высота. Давайте разберем ее шаг за шагом. ### Данные задачи: - Высота цилиндра равна радиусу основания. - Площадь боковой поверхности конуса равна \( 72 - \sqrt{3} \). ### Шаг 1: Определение формул 1. **Площадь боковой поверхности конуса**: Формула для площади боковой поверхности конуса: \[ S_{cone} = \pi r l \] где \( r \) — радиус основания, \( l \) — образующая (наклонная высота) конуса. Образующую конуса можно найти с помощью теоремы Пифагора, используя высоту \( h \) конуса и радиус \( r \): \[ l = \sqrt{r^2 + h^2} \] 2. **Площадь боковой поверхности цилиндра**: Формула для площади боковой поверхности цилиндра: \[ S_{cylinder} = 2\pi rh \] где \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота цилиндра. ### Шаг 2: Указания из условия По условию, высота цилиндра (которая равна \( h \)) равна радиусу основания — обозначим ее \( r \): \[ h = r \] ### Шаг 3: Подстановка значений Подставим \( h = r \) в формулы для площади. 1. Площадь боковой поверхности конуса: \[ S_{cone} = \pi r l = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} = \pi r \sqrt{r^2 + r^2} = \pi r \sqrt{2r^2} = \pi r \cdot r\sqrt{2} = \pi r^2 \sqrt{2} \] Из условия знаем, что \( S_{cone} = 72 - \sqrt{3} \): \[ \pi r^2 \sqrt{2} = 72 - \sqrt{3} \] ### Шаг 4: Решение для \( r \) Выразим \( r^2 \): \[ r^2 = \frac{72 - \sqrt{3}}{\pi \sqrt{2}} \] ### Шаг 5: Площадь боковой поверхности цилиндра Теперь подставим значение \( r \) в формулу для площади боковой поверхности цилиндра: \[ S_{cylinder} = 2\pi rh = 2\pi r^2 \] Подставляя значение \( r^2 \): \[ S_{cylinder} = 2 \pi \left(\frac{72 - \sqrt{3}}{\pi \sqrt{2}}\right) \] Упрощаем: \[ S_{cylinder} = \frac{2(72 - \sqrt{3})}{\sqrt{2}} = \frac{144 - 2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = (144 - 2\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] После окончательных преобразований: \[ S_{cylinder} = 72\sqrt{2} - \sqrt{6} \] ### Ответ: Площадь боковой поверхности цилиндра равна \( 72\sqrt{2} - \sqrt{6} \). Таким образом мы подошли к решению задачи, и у нас получилось выразить площадь боковой поверхности цилиндра через известные параметры конуса.