Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола y=¼•x² и прямая y=5x-16. Если точки пересечения существуют, найдите их координаты

Чтобы определить, пересекаются ли парабола \( y = \frac{1}{4} x^2 \) и прямая \( y = 5x - 16 \), нужно приравнять их правые части. Это значит, что мы можем найти точки пересечения, решив уравнение:

\[ \frac{1}{4} x^2 = 5x - 16 \]

Переписываем его так, чтобы все члены были с одной стороны:

\[ \frac{1}{4} x^2 - 5x + 16 = 0 \]

Чтобы избавиться от дроби, умножим уравнение на 4:

\[ x^2 - 20x + 64 = 0 \]

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Чтобы узнать, есть ли у него действительные корни, используем дискриминант \( D \):

\[ D = b^2 - 4ac \]

Здесь:

• \( a = 1 \)
• \( b = -20 \)
• \( c = 64 \)

Подставляем значения в формулу для дискриминанта:

\[ D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 \] \[ D = 400 - 256 \] \[ D = 144 \]

Так как дискриминант \( D \) положителен ( \( D > 0 \) ), это означает, что у уравнения есть два различных действительных корня. Это, в свою очередь, указывает на то, что парабола и прямая пересекаются в двух точках.

Теперь найдем координаты точек пересечения, решив квадратное уравнение:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_{1,2} = \frac{20 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1} \] \[ x_{1,2} = \frac{20 \pm 12}{2} \]

Теперь найдем корни:

1. \( x_1 = \frac{20 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16 \)
2. \( x_2 = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)

Теперь подставим значения \( x_1 \) и \( x_2 \) в одно из уравнений, чтобы найти соответствующие \( y \) координаты. Используем уравнение прямой \( y = 5x - 16 \).

Для \( x_1 = 16 \):

\[ y_1 = 5 \cdot 16 - 16 = 80 - 16 = 64 \]

Для \( x_2 = 4 \):

\[ y_2 = 5 \cdot 4 - 16 = 20 - 16 = 4 \]

Таким образом, координаты точек пересечения:

1. \( (16, 64) \)
2. \( (4, 4) \)

Ответ: Парабола и прямая пересекаются в точках \( (16, 64) \) и \( (4, 4) \).