Чтобы определить, пересекаются ли парабола ( y = \frac{1}{4} x^2 ) и прямая ( y = 5x - 16 ), нужно приравнять их правые части. Это значит, что мы можем найти точки пересечения, решив уравнение:
[
\frac{1}{4} x^2 = 5x - 16
]
Переписываем его так, чтобы все члены были с одной стороны:
[
\frac{1}{4} x^2 - 5x + 16 = 0
]
Чтобы избавиться от дроби, умножим уравнение на 4:
[
x^2 - 20x + 64 = 0
]
Теперь мы имеем квадратное уравнение. Чтобы узнать, есть ли у него действительные корни, используем дискриминант ( D ):
[
D = b^2 - 4ac
]
Здесь:
- ( a = 1 )
- ( b = -20 )
- ( c = 64 )
Подставляем значения в формулу для дискриминанта:
[
D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64
]
[
D = 400 - 256
]
[
D = 144
]
Так как дискриминант ( D ) положителен ( ( D > 0 ) ), это означает, что у уравнения есть два различных действительных корня. Это, в свою очередь, указывает на то, что парабола и прямая пересекаются в двух точках.
Теперь найдем координаты точек пересечения, решив квадратное уравнение:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
[
x_{1,2} = \frac{20 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1}
]
[
x_{1,2} = \frac{20 \pm 12}{2}
]
Теперь найдем корни:
- ( x_1 = \frac{20 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16 )
- ( x_2 = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4 )
Теперь подставим значения ( x_1 ) и ( x_2 ) в одно из уравнений, чтобы найти соответствующие ( y ) координаты. Используем уравнение прямой ( y = 5x - 16 ).
Для ( x_1 = 16 ):
[
y_1 = 5 \cdot 16 - 16 = 80 - 16 = 64
]
Для ( x_2 = 4 ):
[
y_2 = 5 \cdot 4 - 16 = 20 - 16 = 4
]
Таким образом, координаты точек пересечения:
- ( (16, 64) )
- ( (4, 4) )
Ответ: Парабола и прямая пересекаются в точках ( (16, 64) ) и ( (4, 4) ).
