Сторона квадрата равна а. В данный квадрат вписан квадрат таким образом, что его вершины делят сторону данного квадрата в отношении 2:9. Найди площадь вписанного квадрата
Для решения задачи начнём с анализа геометрической ситуации.
Понимание задачи: У нас есть квадрат со стороной \( a \). В этот квадрат вписан другой квадрат так, что его вершины делят стороны большого квадрата в отношении 2:9. То есть, на стороне большого квадрата отложим 2 части к вершине и 9 частей к основанию, что в сумме дает 11 частей.
Параметры деления стороны: Обозначим длину стороны большего квадрата \( a \). Разделим сторону \( a \) на 11 частей:
- Длина первой части (ближе к углу) составляет \( \frac{2}{11}a \).
- Длина второй части (ближе к центру) составляет \( \frac{9}{11}a \).
Положение вписанного квадрата: Поскольку вписанный квадрат касается сторон большого квадрата в точках, разделяющих каждую сторону в указанном отношении, будем рассматривать те части, которые соответствуют вершинам вписанного квадрата.
Определение стороны вписанного квадрата: Сторона вписанного квадрата будет равна разности между длиной стороны большего квадрата и сумма отрезков, отложенных от её концов:
- Состояние по вертикали и горизонтали представляет собой равные отрезки, т.е.: \[ x = a - \frac{2}{11}a - \frac{2}{11}a = a - \frac{4}{11}a = \frac{7}{11}a \] Соответственно, длина стороны вписанного квадрата — это отрезок на дальней стороне (от точки касания до другой вертикали), также возникает равным \( x \).
Площадь вписанного квадрата: Площадь квадрата \( S \) равна квадрату длины его стороны, следовательно: \[ S = \left(\frac{7}{11}a\right)^2 = \frac{49}{121}a^2 \]
Итак, площадь вписанного квадрата равна \( \frac{49}{121}a^2 \).
