Сторона квадрата равна а. В данный квадрат вписан квадрат таким образом, что его вершины делят сторону данного квадрата в отношении 2:9. Найди площадь вписанного квадрата

Для решения задачи начнём с анализа геометрической ситуации. 1. **Понимание задачи:** У нас есть квадрат со стороной \( a \). В этот квадрат вписан другой квадрат так, что его вершины делят стороны большого квадрата в отношении 2:9. То есть, на стороне большого квадрата отложим 2 части к вершине и 9 частей к основанию, что в сумме дает 11 частей. 2. **Параметры деления стороны:** Обозначим длину стороны большего квадрата \( a \). Разделим сторону \( a \) на 11 частей: - Длина первой части (ближе к углу) составляет \( \frac{2}{11}a \). - Длина второй части (ближе к центру) составляет \( \frac{9}{11}a \). 3. **Положение вписанного квадрата:** Поскольку вписанный квадрат касается сторон большого квадрата в точках, разделяющих каждую сторону в указанном отношении, будем рассматривать те части, которые соответствуют вершинам вписанного квадрата. 4. **Определение стороны вписанного квадрата:** Сторона вписанного квадрата будет равна разности между длиной стороны большего квадрата и сумма отрезков, отложенных от её концов: - Состояние по вертикали и горизонтали представляет собой равные отрезки, т.е.: \[ x = a - \frac{2}{11}a - \frac{2}{11}a = a - \frac{4}{11}a = \frac{7}{11}a \] Соответственно, длина стороны вписанного квадрата — это отрезок на дальней стороне (от точки касания до другой вертикали), также возникает равным \( x \). 5. **Площадь вписанного квадрата:** Площадь квадрата \( S \) равна квадрату длины его стороны, следовательно: \[ S = \left(\frac{7}{11}a\right)^2 = \frac{49}{121}a^2 \] Итак, **площадь вписанного квадрата** равна \( \frac{49}{121}a^2 \).