Чему равна высота трапеции  M N K L MNKL, если  M ( 4 ; − 7 ) M(4;−7),  N ( − 8 ; 1 ) N(−8;1),  K ( − 4 ; 7 ) K(−4;7),  L ( 2 ; 3 ) L(2;3)?

Чтобы найти высоту трапеции \( MNKL \) с заданными координатами ее вершин \( M(4, -7) \), \( N(-8, 1) \), \( K(-4, 7) \) и \( L(2, 3) \), нужно сначала определить, какие из этих сторон являются основаниями trapezii. ### Шаг 1: Определение оснований трапеции Исходя из координат вершин, давайте сначала определим, какие стороны являются параллельными. Для этого удобно будет определить наклон каждой из линий: - Рассмотрим основание \( MN \): - Координаты точек: \( M(4, -7) \) и \( N(-8, 1) \) - Наклон \( MN = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{1 - (-7)}{-8 - 4} = \dfrac{8}{-12} = -\dfrac{2}{3} \) - Рассмотрим основание \( KL \): - Координаты точек: \( K(-4, 7) \) и \( L(2, 3) \) - Наклон \( KL = \dfrac{3 - 7}{2 - (-4)} = \dfrac{-4}{6} = -\dfrac{2}{3} \) Так как наклоны \( MN \) и \( KL \) равны, это означает, что они параллельны и могут служить основаниями трапеции. ### Шаг 2: Найдем длины оснований Теперь необходимо вычислить длины оснований: - Длина основания \( MN \): \[ d_{MN} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{((-8) - 4)^2 + (1 - (-7))^2} = \sqrt{(-12)^2 + 8^2} = \sqrt{144 + 64} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13} \] - Длина основания \( KL \): \[ d_{KL} = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (3 - 7)^2} = \sqrt{(6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \] ### Шаг 3: Находим высоту трапеции Теперь, чтобы найти высоту трапеции, нужно определить расстояние между основаниями \( MN \) и \( KL \). Для этого используем формулу расстояния от точки до прямой. Таким образом, мы можем взять любую точку из одного основания (например, \( M(4, -7) \)) и вычислить ее расстояние до прямой, проходящей через \( K(-4, 7) \) и \( L(2, 3) \), заданной уравнением в общем виде. 1. Найдем уравнение прямой \( KL \) в виде \( Ax + By + C = 0 \): - Наклон \( m = -\dfrac{2}{3} \), значит уравнение будет: \[ y - 7 = -\dfrac{2}{3}(x + 4) \Rightarrow 2x + 3y - 13 = 0 \quad (A=2, B=3, C=-13) \] 2. Теперь используем формулу для расстояния \( d \) от точки до прямой: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] где \( (x_0, y_0) \) — координаты точки \( M(4, -7) \): \[ d = \frac{|2(4) + 3(-7) - 13|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{|8 - 21 - 13|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|-26|}{\sqrt{13}} = \frac{26}{\sqrt{13}} = 2\sqrt{13} \] Таким образом, высота трапеции \( MNKL \) равна \( 2\sqrt{13} \).